第十三讲最值问题一．圆锥曲线求最值或取值范围1.两种类型（1）涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；（2）求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．2.两种解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一单变量最值问题转化为函数最值【例1】已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝OA·OB，且≤λ≤.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求△OAB的面积S的取值范围．【答案】（1）＋y2＝1.（2）∪.（3）【解析】(1)由题意知2c＝2，所以c＝1.【套路秘籍】---千里之行始于足下因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，所以原点O到直线l的距离为＝1，即m2＝k2＋1.由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.λ＝OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，由≤λ≤，得≤k2≤1，即k的取值范围是∪.(3)|AB|＝＝，由≤k2≤1，得≤|AB|≤.设△OAB的AB边上的高为d，则S＝|AB|d＝|AB|，所以≤S≤，即△OAB的面积S的取值范围是【举一反三】1．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t＞0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．【答案】（1）＋＝1(2)【答案】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意可知，2b＝＝4，所以b＝2.又c＝1，故a2＝b2＋c2＝5，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1.设Q(x0，y0)，因为PM⊥QM，所以|QM|＝＝＝.若－4t≤－2,即t≥，当y0＝－2时，|QM|取得最大值，|QM|max＝＝，解得t＝＜(舍去)．若－4t＞－2，即0＜t＜，当y0＝－4t时，|QM|取最大值，且|QM|max＝＝，解得t＝.综上可知，当t＝时，|QM|的最大值为.2．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，且半焦距为1，直线l经过点F2，当l垂直于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且¿A1B1∨¿❑√2．(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C相交于A2，B2两点，取F2A2⃗⋅F2B2⃗的取值范围．【答案】（1）x22+y2=1；（2）[−1,12]【解析】(1)由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：¿A1B1∨¿2b2a=❑√2，即a=❑√2b2，a2−b2=c2=1，解得：a=❑√2，b=1，∴椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)由(1)可知椭圆的右焦点F2(1,0)，当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2(x1,y1)，B2(x2,y2)，联立直线与椭圆方程¿，整理得：(m2+2)y2+2my−1=0，则y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=2−2m2m2+2，F2A2⃗⋅F2B2⃗=(x1−1,y1)⋅(x2−1,y2)=x1x2−(x1+x2)+1+y1y2=−m2+1m2+2=−(1...
