高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第54课直线与平面垂直的判定和性质1.直线与平面垂直（1）定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么就说直线与平面互相垂直．记作（2）直线与平面垂直的判定例1.(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.(1)证明：DE//平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE.∴＝，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，∴DE∥BC， DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.类别语言表述图示字母表示作用判定（1）若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直用于证明直线与平面垂直（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面用于证明直线与平面垂直1(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，①BF＝CF＝. 在三棱锥A－BCF中，BC＝，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF，② BF∩CF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解析：由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴VF－DEG＝VE－DFG＝×·DG·FG·GE＝××××＝.练习：如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点．（1）求证:平面；（2）设为的中点，为的重心，求证：平面∥平面．【解析】（1）证明： 是圆的直径，∴， 平面，平面，∴， ，∴平面．（2）连结并延长交于，连结， 为的重心，∴为的中点， 为的中点，∴∥， 平面，平面∴∥平面 为的中点，为的中点，∴∥， 平面，平面∴∥平面，而∥平面 ，平面，平面，∴平面∥平面，即平面∥平面2QCBAGPOQCBAGPOM（3）直线与平面垂直的性质例2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．【解】(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝.又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABCA1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3.练习：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面ABCD.求证：；证明: 平面ABCD，平面ABCD，∴. ，，∴类别语言表述图示字母表示作用性质（1）若一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线证两条直线垂直（2）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行证两条直线平行3.∴∴. ，PD平面，平面，∴平面. 平面，∴.2.直线与平面所成的角（1）一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角.（2）直线与平面所成的角的范围是（3）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角．练习：若四棱锥的所有棱长均为2，则侧棱与底面所成的角为，斜高与底面底面所成的角的正切值为第54课直线与平面垂直的判定和性质作业题1．一条直线与一个平面垂直的条件是()A.垂直于平面内的一条直线B.垂直于平面内的两条直线C.垂直于平面内的无数条直线D.垂直于平面内的两条相交直线解析：D2.如果平面α外的一条直线a与α内两条直线垂直，那么()A.a⊥αB.a∥αC.a与α斜交D.以上三种均有可能解析：D3.已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、β，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥nB．若m⊥a，n∥β，a⊥β，则m⊥nC．若m∥a，n∥β，a∥β，则m∥nD．若m∥a，n⊥β，a⊥β，则m∥n【答案】A【解析】试题分析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中记ABCD为平面a，CDC1D1为平面β，直线AA1为m，直线BB1为n，则m∥n，因此选项B为假；同理选项D也为假，取平面r∥a∥β，则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n，因此选项C为假，答案选A.考点：空间几何中直线与直线的位置关系4.如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，...