课时跟踪检测（十一）等比数列的性质层级一学业水平达标1．等比数列{an}中，a4＝4，则a1a7＝________.解析：由等比数列的性质可得：a1a7＝a＝16.答案：162．已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz＝________.解析：由等比中项知y2＝3，∴y＝±，又 y与－1，－3符号相同，∴y＝－，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3.答案：－33．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝________.解析：因为a3·a9＝2a＝a所以q2＝2，因为各项为正数，所以q＝，由a2＝1，所以a1＝.答案：4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝________.解析： a5·a2n－5＝a＝22n，且an>0，∴an＝2n， a2n－1＝22n－1，∴log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.答案：n25．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.解析：a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝a7a10＝－，∴＋＋＋＝＝＝＝＝－.答案：－6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.解析：由条件知a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q， a1≠0，∴q2－2q－1＝0. q>0，∴q＝1＋，∴＝q2＝3＋2.答案：3＋27．等比数列{an}中a1＝2，公比q＝－2，记Πn＝a1·a2·…·an(即Πn表示数列{an}的前n项之积)，Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是________．解析：由a1＝2，q＝－2，Πn＝a1×a2×…×an＝(a1)nq.Π8＝28(－2)28＝236；Π9＝29(－2)36＝245；Π10＝210(－2)45＝－255；Π11＝211(－2)55＝－266；所以Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是Π9.答案：Π98．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.答案：149．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．求数列{an}的通项公式．解：因为a3·a4＝a1·a6＝，又a1＋a6＝11，故a1，a6可看作方程x2－11x＋＝0的两根，又q∈(0,1)，所以a1＝，a6＝，所以q5＝＝，所以q＝，所以an＝·n－1＝·n－6.10．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝6，a3＋a4＝3，求a5＋a6＋a7＋a8.解：因为{an}为等比数列所以a3＋a4是a1＋a2与a5＋a6的等比中项，所以(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，所以a5＋a6＝＝＝，同理，a5＋a6是a3＋a4与a7＋a8的等比中项，所以(a5＋a6)2＝(a3＋a4)(a7＋a8)，故a7＋a8＝＝，所以a5＋a6＋a7＋a8＝＋＝.层级二应试能力达标1．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．解析：由已知得∴2b＝a＋.即a2＋b2＝2ab.∴(a－b)2＝0.∴a＝b≠0.∴q＝＝1.答案：12．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析：由已知得S1·S4＝S，即a1·(4a1－6)＝(2a1－1)2，解得a1＝－.答案：－3.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.答案：4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.解析： a4＋a7＝2，由等比数列的性质可得，a5a6＝a4a7＝－8，∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，则a1＝－8，a10＝1，∴a1＋a10＝－7，当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，则a10＝－8，a1＝1，∴a1＋a10＝－7，综上可得，a1＋a10＝－7.答案：－75．在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________.解析：由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512.由解得或(舍去)．所以q＝＝－2.所以a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512.答案：5126．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数...
