命题角度4.4：空间中角的问题1.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，为线段上一点，，且为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）运用两线面平行的判定定理分析推证；（2）运用面面垂直的判定定理分析推证；（3）依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角，再借助解三角形的知识求解：（1）取，中点，，连，，，由为中点，所以，且.由，，则，又，则.所以四边形为平行四边形，所以，且面，面，则面.（2） ，∴，又，所以四边形为平行四边形，故.又 面.面，∴.又，所以面， 面，∴面面.（3）过作，垂足为.由（2）知面面，面面，面，∴面，连接，.则为在平面上的射影，∴为与平面所成角.中，，，∴与平面所成角正弦值为.点睛：立体几何是高中数学中的传统内容之一，也是高考重点考查的内容和考点。求解本题第一问时，直接运用线面平行的判定定理进行分析推证，从而使得问题获解；解答第二问时，先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理分析推证进而使得问题获解；解答第三问时，先依据题设条件运用线面角的定义先找出线面角（即斜线与其射影所成角），再借助解三角形的知识求解而获解。2.如图，是平行四边形，平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析:(1)由线线平行得到线面平行;(2)由面面垂直的判定定理证明;(3)利用直线与平面所成的角定义,找出直线与平面所成的角,再求出角度.（2）中，，所以∴∴ 平面平面∴又 ∴平面又平面∴平面平面（3）作于，连，可证平面为与平面所成角，，，，。答:直线与平面所成角的正弦值为3.已知三棱柱中，，侧面底面，是的中点，.（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).试题解析：（Ⅰ）取中点，连接，中，，故是等边三角形，∴，又，而与相交于，∴面，故，又，所以，又 侧面底面于，在底面内，∴面.（Ⅱ）过作平面，垂足为，连接，即为直线与平面所成的角，由（Ⅰ）知，侧面底面，所以平面，由等边知，又 平面，∴，由（Ⅰ）知面，所以，∴四边形是正方形， ，∴，∴在中，，所以直线与平面所成线面角的正弦值为.点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．4.如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，，，为中点，（，）.（1）设中点为，，求证：平面；（2）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为，时为的中点，设中点为，连梯形中，中位线，根据线面平行的判定定理可得平面；同理可证平面，然后再根据面面平行的判定定理可得，平面平面，进而可证命题成立；（2）设中点为，连，在中作且交于点，由面面垂直的性质定理，可得，又，所以平面，所以为到平面的距离，且为直线与平面所成角；再根据面面垂直的性质定理，可得可得，中为的中点，由此即可求出线面角的正弦值.又且平面，平面所以平面平面所以平面（2）设中点为，连，在中作且交于点，又，所以平面，所以为到平面的距离，且为直线与平面所成角平面，所以，中为的中点直线与平面所成角的正弦值为.5.如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面，点为线段中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角的正切值；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（１）借助异面直线所成角的定义找出角，再运用解三角形的知识求解；（２）依据题设线面垂直＼面面垂直的判定定理推证；（３）借助线面角的定义先找出线面角，再...
