湖北省武汉市黄陂区2016-2017学年高二数学寒假作业试题理(四)一.填空题(共3小题)1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题:①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;②若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n.其中真命题的序号为.2.两个三口之家,共4个大人,2个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游,每辆车最多只能乘坐4人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是.3.从1,2,3,4,5中不放回依次取两个数.已知第一次取出的是奇数,则“第二次取到的也是奇数”的概率为.二.解答题(共3小题)4.某市在2015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布N(120,25),现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),…第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.(I)试估计该校数学的平均成绩;(Ⅱ)这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的分布列和期望.附:若X~N(μ,σ2),则P(u﹣3σ<X<u+3σ)=0.9974.5.如图,已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.1家长签字:___________________签字日期:___________________(1)求证:面O1DC⊥面ABCD;(2)若∠A1AB=60°,求二面角C﹣AA1﹣B大小;(3)若点E,F分别在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,问点F在何处时,EF⊥AD.6.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.2寒假作业(四)参考答案1.①若m⊥a,则m要垂直a中的两条相交的直线,通过分析,m只垂直来a中的一条直线,故不能做出判断,①错②根据面和面垂直的性质:只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线,就可以推出这两个面相互垂直,故②正确③两条不同的直线逗垂直同一个平面,则这两条直线必平行,③对④相互平行的面,两个面之间的直线不相交,但可以是异面直线,还可以垂直,故④错2.只需选出乘坐奥迪车的人员,剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩,则有=10种方法;若奥迪车上有一个小孩,则有=28种;若奥迪车上有两个小孩,则有=10种.综上,不同的乘车方法种数为10+28+10=48种,3.记事件A=“第一次取出的是奇数”,事件B=“第二次取到的是奇数”,则事件AB=“第一次取出的是奇数,第二次取到的也是奇数”则P(A)==,P(AB)==.因此,P(B|A)===.4.(1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为1﹣(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(2)由于根据正态分布:P(120﹣3×5<X<120+3×5)=0.9974故所以前13名的成绩全部在130分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08=4人,而在[125,145)的学生有50×(0.12+0.08)=10所以X的取值为0,1,2,3.所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==;所以X的分布列为X0123P数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2.5.(1)连AC,BD,A1C1,则O为AC,BD的交点,O1为A1C1,B1D1的交点.3由平行六面体的性质知:A1O1||OC且A1O1=OC∴四边形A1OCO1为平行四边形,A1O||O1C又 A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD又 O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD(2)过点O作OM⊥AA1,垂足为M,连接BM. A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥OB又 OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO.由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C﹣AA1﹣B的平面角.在Rt△AMB中,∠MAB=60°,∴又 ,∴∴二面角C﹣AA1﹣B的大小为(3)作EH⊥平面ABCD,垂足为H,则EH∥A1O,点H在直线AC上,且EF在平面ABCD上的射影为HF.由三垂线定理及其逆定理,知EF⊥AD⇔FH∥AB ...