课时跟踪训练(二十二)空间向量的数量积1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB�与AC�的夹角为________．2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.3．若AB�＝(－4,6，－1)，AC�＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB�，a⊥AC�，则a＝________________________________________________________________________.4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．6．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．7．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求△ABC的面积．8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．答案1．解析：AB�＝(0,3,3)，AC�＝(－1,1,0)，∴cos〈AB�，AC�〉＝＝，∴〈AB�，AC�〉＝60°.答案：60°2．解析：a·b＝2×3×cos60°＝3.∴|2a－3b|＝＝＝.1答案：3．解析：设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：或答案：或4．解析：∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC�·AB�＝0，BD�·AB�＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA�，BD�〉＝60°，∴CD�2＝|CD�|2＝(CA�＋AB�＋BD�)2＝CA�2＋AB�2＋BD�2＋2(CA�·AB�＋CA�·BD�＋AB�·BD�)＝164，∴|CD�|＝2.答案：26．解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，解得k＝－.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.解得k＝.7．解：∵AB�＝(1,1,1)，AC�＝(2,1,3)，∴|AB�|＝，|AC�|＝，AB�·AC�＝6，∴cos∠BAC＝cos〈AB�，AC�〉＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，∴S△ABC＝|AB�||AC�|sin∠BAC＝×××＝.8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，∴1AO�＝(－2,0,2)，1BE�＝(－1,0，－2)，∴cos〈1AO�，1BE�〉＝＝－.故AO1与B1E所成的角的余弦值为.(2)由题意得1OD�⊥AC�，AD�∥AC�，∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，∴1OD�＝(x，y，－2)，AD�＝(x－2，y,0)，AC�＝(－2,3,0)，∴解得∴D.O1D＝|1OD�|＝＝＝.23
