专题3.1变化率与导数、导数的计算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数。知识点1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).知识点2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.知识点3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axln__af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝知识点4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).【特别提醒】1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.′＝－.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点一导数的运算【典例1】(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.【解析】由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·，则f′(1)＝e.【答案】e【方法技巧】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解。【变式1】（2018年全国III卷）已知函数，，则________．【答案】-2【解析】,则。考点二求切线方程【典例2】【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】则在点处的切线方程为，即．故选C。【举一反三】【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即。【方法技巧】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解。【变式2】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y＝－2xB.y＝－xC.y＝2xD.y＝x解析因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x。答案D考点三求切点坐标【典例3】（河北衡水第十三中2019节模拟）设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________。【解析】 函数y＝ex的导函数为y′＝ex，∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x0>0)， 函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－，由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1.又 点P在曲线y＝(x>0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1).【答案】(1，1)【变式3】（安徽省亳州市第二中学2018-2019学年模拟）已知函数,直线过点且与曲线相切,则切点的横坐标为()A．B．1C．2D．【答案】B【解析】由f（x）＝e2x﹣1，得f′（x）＝2e2x﹣1，设切点为（），则f′（x0），∴曲线y＝f（x）在切点处的切线方程为y（x﹣）．把点（0，﹣e）代入，得﹣e，即，两边取对数，得（）+ln（）...
