专题16平面向量的应用1．向量的线性运算．2．向量的坐标运算．3．向量的数量积运算．例1证明：平行四边形的对角线互相平分．变式训练1如图，▱ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE与AC交于R，AF与BE交于T，证明：BT＝4TE.例2证明：如果平行四边形的对角线相等，那么该平行四边形是矩形．1变式训练2如图，在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求证：b2＝c2＋a2－2accosB.例3一条渔船距对岸为4km，现正以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速．变式训练3作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|＝5，|F2|＝3，夹角为60°，求F1＋F2的大小．2A级1．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为5，则两个力的合力的大小为()A．10NB．0NC．5ND.N2．在△ABC中，已知A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是()A．2B.C．3D.3．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．24．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．作用于原点的两个力F1(1，1)，F2(2，3)，为使它们平衡，需要加力F3＝________．6．已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________．7．过点(1，2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．B级8．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是()A．(1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，1)9．在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积的比值是(3)A.B.C.D.10．已知|a|＝8，|b|＝15，|a＋b|＝17，则a与b的夹角θ为________．11．设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，则＝__________________________________________________.12．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5.则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝______．13．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．4专题16平面向量的应用典型例题例1证明如图，设AB＝a，AD＝b，AO＝λAC，BO＝μBD，则AC＝a＋b，BD＝b－a，则AO＝λAC＝λ(a＋b)＝λa＋λb，又AO＝AB＋BO＝a＋μBD＝a＋μ(b－a)＝(1－μ)a＋μb，由于向量a、b不共线，所以，解得λ＝μ＝，即AO＝AC，BO＝BD，所以平行四边形的对角线互相平分．变式训练1证明如图，设AB＝a，AD＝b，AT＝λAF，BT＝μBE，则AC＝a＋b，BD＝b－a，则AT＝λAF＝λ(AD＋DF)＝λ(a＋b)＝a＋λb，①又AT＝AB＋BT＝a＋μBE＝a＋μ(AE－AB)＝a＋μ(AD－AB)＝a＋μ(b－a)＝(1－μ)a＋b，②所以解得μ＝，即BT＝BE，所以BT＝4TE，故BT＝4TE.例2证明如图，设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，BD＝b－a，由题意，得|AC|＝|BD|，即|a＋b|＝|b－a|，所以(a＋b)2＝(b－a)2，整理得a·b＝0，故a⊥b，即AB⊥AD，所以该平行四边形是矩形．5变式训练2证明 AC＝AB＋BC，∴AC·AC＝(AB＋BC)·(AB＋BC)＝AB2＋2AB·BC＋BC2＝|AB|2＋2|AB|·|BC|cos(180°－B)＋|BC|2＝c2－2accosB＋a2，即b2＝c2＋a2－2accosB.例3解如图所示，设AB表示船垂直于对岸的速度，则AB＋BC＝AC，知AC就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，所以在Rt△ABC中，|AB|＝2km/h，|AC|＝8÷2＝4km/h，则|BC|＝2km/h.答河水的流速为2km/h.变式训练3解|F1＋F2|2＝F＋2F1·F2＋F＝25＋2×5×3×cos60°＋9＝49，所以|F1＋F2|＝7.强化提高1．C2．B[BC中点为D，AD＝，∴|AD|＝.]3．D[合力F＝F1＋F2＝(lg2，lg2)＋(lg5，lg2)＝(1，2lg2)，所以W＝F·s＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2.]4．B[ AB＝(2，－2)，CB＝(6，6)，∴AB·CB＝12－12＝0，∴AB⊥CB，∴△ABC为直角三角形．]5．(－3，－4)解析F3＝－(F1＋F2)＝(－3，－4)．6．150°解析 AB·AC<0，∴∠BAC为钝角，又 S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝.∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.7．x＋3y－7＝...
