第2课时空间向量与垂直关系[课时作业][A组基础巩固]1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件AM·n＝0的点M构成的图形是()A．圆B．直线C．平面D．线段解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．答案：C2．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A.B.C.D.解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.答案：B3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴CE＝，AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1，0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． CE·BD＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.答案：B4．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：PA＝(－x,1，－z)，AB＝(－1，－1,1)，AC＝(2,0,1)，PA·AB＝0，PA·AC＝0.∴x＝，z＝－.答案：A5．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则DA1＝(1,0,1)，1AC＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，EF＝(，，－)，∴EF·DA1＝0，EF·AC＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.答案：B6．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝(1，，2),且l⊥α，则m＝________.解析：平面α的法向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥α，∴e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ，∴∴m＝4.答案：47．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由OP⊥OQ，所以OP·OQ＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝. x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或8．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为________．解析：AB＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，AC＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，cos〈AB，AC〉＝＝＝－，sin〈AB，AC〉＝＝＝，∴AC边上的高为|AB|sin〈AB，AC〉＝×＝5.答案：59.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AD，E，F分别为线段AB，PD的中点．求证：(1)AF∥平面PEC；(2)AF⊥平面PCD.证明：以A为原点，向量AB，AD，AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝a，PA＝AD＝1，则P(0,0,1)，C(a,1,0)，E，D(0,1,0)，F.(1)AF＝，EP＝，EC＝，∴AF＝EP＋EC，又AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)PD＝(0,1，－1)，CD＝(－a,0,0)，AF·PD＝·(0,1，－1)＝0，AF·CD＝·(－a,0,0)＝0，2∴AF⊥PD，AF⊥CD，即AF⊥PD，AF⊥CD，又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.10.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并给出证明．解析：(1)证明：设CD＝a，CB＝b，CC1＝c.依题意，|a|＝|b|.CD，CB，CC1中两两所成的夹角为θ，于是BD＝CD－CB＝a－b，CC1·BD＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|cosθ－|c||b|cosθ＝0，∴CC1⊥BD.∴C1C⊥BD.(2)若使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1·C1D＝(CA＋AA1)·(CD－CC1)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝|a|2＋a·b－b·c－|c|2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cosθ－|b||c|cosθ＝0，当|a|＝|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|＝|c|时，A1C⊥BD，∴＝1时，A1C⊥平面C1BD.[B组能力提升]1.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)．设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．P(...
