高考数学复习点拨 集合与一元二次不等式综合问题例析VIP免费

集合与一元二次不等式综合问题例析集合，是现代数学中的一个最基本的概念．集合概念渗透到数学各个分支中对于培养运用集合观念解题的能力，提高数学素养是大有好处的．集合问题多与不等式等有关，解答此类问题时要注意各类知识的相互转化、融会贯通与综合运用．下面就与集合与不等式有关问题选解评析几例，供读者参考．例1已知全集U={x|x2－3x+2≥0}，A={x||x－2|＞0}，B={x|21xx＞0}，求AðUB，(ðUA)B．解：U={x|x≤1或x≥2}，A={x|x＜1或x＞3}，B={x|x＞2或x＜1}，故AðUB=φ，(ðUA)B=U．评析：本题中把二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解集，与集合的交并、补运算相结合，既考察了不等式的几种类型的解法，又考察了集合运算．这里准确解出不等式的解集很重要．例2已知A={x|x－a＞0}，B={x|x2－2ax－3a2＜0}，求AB及AB．解：A={x|x＞a}，B={x|(x+a)(x－3a)＜0}，考虑集合B中－a与3a的大小关系，对字母a进行分类讨论：⑴当a＞0时，－a＜3a，B={x|－a＜x＜3a}，∵－a＜a＜3a，∴AB={x|a＜x＜3a}，AB={x|x＞－a}．⑵当a=0时，A={x|x＞0}，B=φ，此时，AB=φ，AB={x|x＞0}．⑶当a＜0时，－a＞3a，B={x|3a＜x＜－a}，∵3a＜a＜－a，∴AB={x|a＜x＜－a}，AB={x|x＞3a}．评析：分类讨论时，要求既不重复讨论，也不遗漏某些特殊情况，往往是数形结合、分类讨论交叉进行．本题还应注意到－a与3a的大小比较．常常可见到方程两根都含字母且不只是一次式时，比较这两根大小之后，再写出不等式的解集而作差比较的不同情况，往往就是讨论的不同步骤．用心爱心专心例3关于x的不等式|x－2)1(2a|≤2)1(2a及x2－3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次记为A和B，求使AB时a的取值范围．解：由|x－2)1(2a|≤2)1(2a得：－2)1(2a≤x－2)1(2a≤2)1(2a，∴2a≤x≤a2+1，即A={x|2a≤x≤a2+1}，由x2－3(a+1)x+2(3a+1)≤0得：(x－2)[x－(3a+1)]≤0，①当3a+1≥2，即a≥31时，B={x|2≤x≤3a+1}，欲使AB，需有.113,222aaa1≤a≤3，②②当3a+1＜2，即a＜31时，B={x|3a+1≤x≤2}，欲使AB，需有.12,2132aaaa=－1．∴使AB时a的取值范围为1≤a≤3或a=－1．评析：对于含有参数的不等式应考虑到：⑴参数a对不等式方向的影响；⑵参数a对根的大小的影响．例4已知集合A={x|x2－2x+a≤0}，B={x|x2－3x+2≤0}，且AB，求实数a的取值范围．解：B={x|1≤x≤2}，A={x|x2－2x+a≤0}，由于AB，所以：①当A=φ时满足AB，即x2－2x+a≤0无解，所以△=(－2)2－4a＜0a＞1．②当A≠φ时，由于不等式x2－2x+a≤0对应二次函数y=x2－2x+a的对称轴是x=1．要保证A[1，2]，当且仅当A={1}，即△=0，解得a=1．用心爱心专心由①、②知当a≥1时，AB．评析：将集合语言转化为图形语言，便使a的取值范围显而易见．所以，数形结合是求含参数集合问题常用的思想方法．用心爱心专心