第7讲抛物线1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－2．(2013年新课标Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．43．(2016年辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2B.C.D.4．已知M是y＝上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是()A．2B．4C．8D．105．(2016年新课标Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．26．(2015年浙江)如图X771，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()图X771A.B.C.D.7．(2017年新课标Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.B．2C．2D．38．(2017年江西南昌二模)已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝()A.B.C.D.9．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为4，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点．(1)求C1与C2的标准方程；(2)若C2的切线交C1于P，Q两点，且满足FP·FQ＝0，求直线PQ的方程．10．(2017年北京)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；1(2)求证：A为线段BM的中点．2第7讲抛物线1．C解析：由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－.故选C.2．C解析：假设P(x0，y0)在第一象限，则|PF|＝x0＋＝4.∴x0＝3.∴y＝4x0＝4×3＝24.∴|y0|＝2.∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.3．C解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4.又p＝1，所以x1＋x2＝3.所以点C的横坐标为＝.故选C.4．B解析：如图D134，抛物线的准线l：y＝－1，由抛物线定义可知，当M为过C且与l垂直的直线与抛物线的交点时，|MC|＋|MF|最小为5，∴|MA|＋|MF|的最小值为5－1＝4.故选B.图D1345．D解析：因为F为抛物线y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．又因为曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，所以P(1,2)．所以k＝2.故选D.6．A解析：＝＝＝.7．C解析：由抛物线定义知MN＝MF，显然三角形MNF为正三角形，MN＝MF＝NF＝4，则点M到直线NF的距离为2.故选C.8．B解析：方法一，由题意，可得直线PQ：y＝(x－1)与抛物线y2＝4x联立得：3x2－10x＋3＝0.所以点P(3,2)，Q，则MN＝2＋＝.在△MNF中，MN边上的高h＝2，则S△MNF＝×2×＝.故选B.方法二，不妨设交点P在x轴上方，由抛物线焦点弦性质，得|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，且＋＝＝1,＝＝，故|PF|＝4，|QF|＝.所以S△MNF＝×|MN|×p＝×××2＝.故选B.9．解：(1)设椭圆C1的焦距为2c，依题意有2c＝4，＝.解得a＝2，c＝2，又b2＝a2－c2，则b＝2.故椭圆C1的标准方程为＋＝1.又抛物线C2：x2＝2py(p>0)开口向上，且F是椭圆C1的上顶点，∴F(0,2)．∴p＝4.故抛物线C2的标准方程为x2＝8y.(2)显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则FP＝(x1，y1－2)，FQ＝(x2，y2－2)．∴FP·FQ＝x1x2＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.由此可得，(1＋k2)x1x2＋(km－2k)(x1＋x2)＋m2－4m＋4＝0.①联立消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0.②依题意，得x1，x2是方程②的两根，Δ＝144k2－12m2＋48>0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝.将x1＋x2和x1·x2代入①，得m2－m－2＝0，解得m＝－1(m＝2不合题意，应舍去)，联立消去y整理，得x2－8kx＋8＝0，令Δ′＝64k2－32＝0.解得k2＝，经检验k2＝，m＝－1符合要求．故直线PQ的方程为y＝±x－1.10．(1)解：由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)得p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，直线l与抛物线的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x.3则点A的坐标为(x1，x1)．因为直线ON的方程为y＝x，所以点B的坐标为.因为y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以y1＋＝2x1.故A为线段BM的中点．4
