高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第三讲 空间向量与立体几何能力训练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第三讲空间向量与立体几何1．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PE⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，DP＝，HP＝.又HP为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2．(2018·长春模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACE；(2)设PA＝1，∠ABC＝60˚，三棱锥EACD的体积为，求二面角DAEC的余弦值．解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE(图略)．在△PBD中，PE＝DE，BO＝DO，所以PB∥OE.又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE.(2)由题易知VPABCD＝2VPACD＝4VEACD＝，设菱形ABCD的边长为a，则VPABCD＝S▱ABCD·PA＝×(2×a2)×1＝，则a＝.取BC的中点为M，连接AM，则AM⊥AD.以点A为坐标原点，分别以AM，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0，，)，C(，，0)，AE＝(0，，)，AC＝(，，0)，设n1＝(x，y，z)为平面AEC的法向量，则即取x＝1，则n1＝(1，－，3)为平面AEC的一个法向量．又易知平面AED的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，由图易知二面角DAEC为锐二面角，所以二面角DAEC的余弦值为.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，AP＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量OB＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由AP·n＝0，AM·n＝0得可取y＝a，得平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈OB，n〉＝.由已知可得|cos〈OB，n〉|＝cos30°＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝.所以n＝.又PC＝(0,2，－2)，所以cos〈PC，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.4．(2018·青岛模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA＝45˚，AP＝AD＝AC＝2，E为PA的中点．(1)设平面PAB∩平面PCD＝l，求证：CD∥l；(2)求二面角BCED的余弦值．解析：(1)证明：在四边形ABCD中，∵AC⊥AD，AD＝AC＝2，∴∠ACD＝45˚，∵∠BCA＝45˚，∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝90˚，即DC⊥BC.又AB⊥BC，∴AB∥CD.∵AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB.∵CD⊂平面PCD，平面PAB∩平面PCD＝l，∴CD∥l.(2)∵PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，∴以A为原点，以AD所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，E(0,0,1)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(－1,1,0)，设平面DCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，CE＝(0，－2,1)，DE＝(－2,0,1)，由得，令x1＝1，则y1＝1，z1＝2，∴n1＝(1,1,2)是平面DCE的一个法向量．设平面BCE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，BC＝(1,1,0)，CE＝(0，－2,1)，由得，令x2＝1，则y2＝－1，z2＝－2，∴n2＝(1，－1，－2)是平面BCE的一个法向量．则cos〈n1，n2〉＝＝＝－，又二面角BCED为钝角，∴二面角BCED的余弦值为－.