专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示【基础巩固】1．(必修4P73习题1)下列各组向量中，可以作为基底的是________(填序号)．①e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)；②e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；③e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；④e1＝(2，－3)，e2＝.【答案】②【解析】两个不共线的非零向量构成一组基底．2．(2017·无锡期末)已知在▱ABCD中，AD＝(2,8)，AB＝(－3,4)，则AC＝________.【答案】(－1,12)【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(－1,12)．3．如下图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为________．【答案】－2e1＋e24．(2017·广州综测)已知向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.【答案】－3【解析】因为(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以解得所以x＋y＝－3.5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．【答案】【解析】AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.6．(2017·衡水中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s＝________.【答案】0【解析】因为CD＝2DB，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝AB－AC，则r＋s＝＋＝0.17．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.【答案】(－6,21)8．(2017·苏北四市期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．【答案】充要【解析】由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．9．(2017·四川十校联考改编)与向量a＝(12,5)平行的单位向量为________．【答案】或【解析】设e为所求的单位向量，则e＝＝或e＝－＝.10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC＝2AE，则向量EM＝________(用AB，AC表示)．【答案】AC＋AB【解析】如图，∵EC＝2AE，∴EM＝EC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC.11．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．【答案】12．在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝________(用e1，e2表示)．【答案】－e1＋e2【解析】如图，MN＝CN－CM＝CN＋2BM＝CN＋BC＝－AC＋(AC－AB)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.【能力提升】213．(2017·南通调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则x＝________，y＝________.【答案】【解析】由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.14．已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为________．【答案】3【解析】∵OA·OB＝0，∴OA⊥OB，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，OA＝(1,0)，OB＝(0，)，OC＝mOA＋nOB＝(m，n)．∵tan30°＝＝，∴m＝3n，即＝3.15．已知点A(－1,2)，B(2,8)，AC＝AB，DA＝－BA，则CD的坐标为________．【答案】(－2，－4)16．(2016·四川卷改编)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是________．【答案】34
