课后提升训练八生活中的优化问题举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为()A.8m3B.12m3C.16m3D.24m3【解析】选A.设长方体的底面边长为xm,则高为(6-2x)m,所以00),L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.13.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+36x+126,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.11万件B.9万件C.6万件D.7万件【解析】选C.y′=-x2+36,令y′=0,又x>0,解得x=6,当00,函数单调递增,当x>6时,y′<0,函数单调递减,所以当x=6时,y有最大值.4.(2017·烟台高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得利润最大时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x>0),所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0),所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函数,在(3,+∞)上是减函数,故当x=3时,获得最大利润.5.(2017·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2【解析】选C.如图,设底面边长为x(x>0),则底面积S=x2,2所以h==.S表=x·×3+x2×2=+x2,S′表=x-,令S′表=0得x=,因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.6.如图,在等腰梯形ABCD中,CD=40,AD=40,梯形ABCD的面积最大时,AB等于()A.40B.60C.80D.120【解析】选C.设∠BAD=θ,则AB=40+2×40cosθ,梯形高h=40sinθ,从而梯形面积S=1600(1+cosθ)sinθ.故S′=1600(cosθ+cos2θ).令S′=0,得cosθ=-1(舍)或cosθ=,即θ=,此时AB=80,即当AB=80时,梯形有最大面积1200.7.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28000元D.23000元【解析】选D.设毛利润为L(P),由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8300-170P-P2)(P-20)3=-P3-150P2+11700P-166000,所以L′(P)=-3P2-300P+11700,令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).此时,L(30)=23000.根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.8.(2017·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是()A.150B.200C.250D.300【解析】选D.因为总利润p(x)=当0≤x≤390时,p′(x)=-x2+300,令p′(x)=0,得x=±300,当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增,当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以当x=300时,总利润最大.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为________,宽为________时,矩形的面积最大.【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,此时S=x·(30-x)=30x-x2,令S′=30-2x=0,所以x=15.当00,当150),所以y′=2,令y′=0,解得x=200(x=-200舍去),这时y=800.当0200时,y′>0,所以当x=200时,y取得最小值,故其周长至少为800m.答案:80010.(2017·全国乙卷...
