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高考数学一轮复习 5.4数列求和与数列的综合应用课时跟踪训练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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【与名师对话】2016版高考数学一轮复习5.4数列求和与数列的综合应用课时跟踪训练文一、选择题1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2解析:Sn=+=2n+1-2+n2.答案:C2.等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列的前10项的和为()A.120B.70C.75D.100解析:由an=2n+1知a1=3,∴Sn==n(n+2),∴=n+2.∴是首项为3的等差数列.其前10项的和T10==75.故选C.答案:C3.(2015·陕西渭南临渭区期末)数列{(-1)n·n}的前2012项的和S2012为()A.-2012B.-1006C.2012D.1006解析:由an=(-1)n·n,得S2012=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2011+2012)=1×1006=1006.答案:D4.(2014·济南模拟)等差数列{an}中,已知a1=-12,S13=0,使得an>0的最小正整数n为()A.7B.8C.9D.10解析:由已知得S13=-12×13+78d=0,解得d=2,故通项an=-12+2(n-1)=2n-14,令an=2n-14>0⇒n>7,故最小的正整数n=8.答案:B5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m的值为()A.3B.4C.5D.6解析:本题考查对于前n项和公式Sn的理解,根据Sm-1=-2,Sm=0可知am=2,Sm=0,Sm+1=3,可知am+1=3.从而公差d=1.根据求和公式可得m(a1+am)=2Sm=0,所以a1=-2.根据通项公式可求得m=5.答案:C6.已知数列{an}中,an=2n+1,则++…+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n解析:an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以所求的和是+2+…+n==1-n.答案:C二、填空题7.在正项等比数列{an}中,若a2a4=4,则数列{log2an}的前5项之和为__________.解析:由题意,a=4,a3=2,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2(a3)5=log225=5.答案:518.若数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+1,则a1+a9的值为__________.解析:当n=1时,a1=S1=0,a9=S9-S8=15,所以a1+a9=15.答案:159.对正整数n,若曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和为________.解析:∵y=xn(1-x)=xn-xn+1,∴y′=nxn-1-(n+1)xn,当x=2时,切线的斜率k=-(n+2)2n-1,∴在x=2处的切线方程y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0可得y=(n+1)2n,即an=(n+1)2n,∴=2n,即数列为等比数列,其前n项和Sn==2n+1-2.答案:2n+1-2三、解答题10.(2015·银川模拟)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=11.(2014·安徽卷)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)证明:由已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2.从而bn=n·3n.Sn=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①3Sn=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=.所以Sn=.12.(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,2从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,Sn==2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.3

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