第7讲立体几何中的向量方法[基础题组练]1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.B.C.D.解析：选B.以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.所以AA1＝(0，0，1)，B1C＝(0，－1，－1)，所以cos〈AA1，B1C〉＝＝＝－，所以〈AA1，B1C〉＝，所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B.2．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，得n＝(2，1，3)．因为cos〈DC1，n〉＝＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为，故选A.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即所以所以n1＝(1，2，2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.4．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．解析：设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，B1F＝(1，－，－1)，EF＝，GF＝(1，0，－1)．设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量，所以|cos〈n，B1F〉|＝＝，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.答案：5．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．解：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，CB＝(1，0，0)，CE＝(1，－1，1)，CC1＝(0，0，2)．设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即所以可取m＝(1，1，0)．于是cosn，m＝＝－.所以，二面角B－EC－C1的正弦值为.6．(2019·福州市质量检测)如图，四棱锥PABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB的中点．(1)求证：AQ⊥平面PBC；(2)求二面角BPCD的余弦值．解：(1)证明：因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB，又AQ⊂平面PAB，所以BC⊥AQ，因为Q为PB的中点，且△PAB为等边三角形，所以PB⊥AQ，又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC.(2)取AB的中点O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，PO⊂平面PAB，得PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD，由AB＝2BC＝2CD＝4，∠ABC＝90°，可知OD∥BC，所以OD⊥AB.以AB中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－2，0)，D(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，B(0，2，0)，所以AD＝(2，2，0)，DP＝(－2，0，2)，CD＝(0，－2，0)．因为Q为PB的中点，所以Q(0，1，)，由(1)知，平面PBC的一个法向量为AQ＝(0，3，)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，由，得，取z＝1，则n＝...
