课时跟踪训练(二十四)空间线面关系的判定1．若两平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,4)，v＝，则α与β的位置关系是________．2．若平面α、β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是________．4．若AB�＝λCD�＋μCE�(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________________________．5．已知AB�＝(1,5，－2)，BC�＝(3,1，z)，若AB�⊥BC�，BP�＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于________．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用向量法证明：(1)平面A1BD∥平面CB1D1；(2)AC1⊥平面A1BD.答案1．解析：∵u＝－3v，∴u∥v，∴α∥β.答案：平行2．解析：∵α⊥β，∴－x－2－8＝0.∴x＝－10.1答案：－103．解析：∵1BC�＝11BC�＋1BB�＝1BO�＋1OC�＋1DO�＋OD�＝1OC�＋OD�，∴1BC�，1OC�，OD�共面．又∵B1C不在平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.答案：平行4．解析：∵AB�＝λCD�＋μCE�(λ，μ∈R)，∴AB�与CD�，CE�共面．∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.答案：AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE5．解析：AB�·BC�＝3＋5－2z＝0，故z＝4.BP�·AB�＝x－1＋5y＋6＝0，且BP�·BC�＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.答案：6．证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.∴PB�＝(1,1，－1)，DE�＝，EB�＝，设F(x，y，z)，则PF�＝(x，y，z－1)，EF�＝.∵EF�⊥PB�，∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①又∵PF�∥PB�，可设PF�＝λPB�，∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝，y＝，z＝，∴EF�＝.(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有∴取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．∵PA�＝(1,0，－1)，∴PA�·n1＝0.又∵PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有∴取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．∴PB�∥n2，∴PB⊥平面EFD.7.证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴DP�＝(0，－1,2)，DA�＝(2，3,0)，CM�＝，(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即∴2令y＝2，得n＝(－，2,1)．∵n·CM�＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥CM�，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵PD�＝(0,1，－2)，PA�＝(2，4，－2)，令CM�＝xPD�＋yPA�，则方程组有解为∴CM�＝－PD�＋PA�，由共面向量定理知CM�与PD�，PA�共面，又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，BE�＝(－，2,1)，∵PB＝AB，∴则BE⊥PA.又∵BE�·DA�＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴BE�⊥DA�，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.8．证明：建系如图，设正方体的棱长为1.则A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、A(1,0,0)、C1(0,1,1)．(1)∴1AD�＝(－1,0，－1)，1AB�＝(0,1，－1)，11DB�＝(1,1,0)，1DC�＝(0,1，－1)，设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⇒令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则⇒令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)．3∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CB1D1.(2)又1AC�＝(－1,1,1)，∴1AC�∥n1.∴1AC�是平面A1BD的一个法向量，∴1AC�⊥平面A1BD.4
