第二讲椭圆、双曲线与抛物线第二部分双曲线一、双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a、b、c间的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)巧设双曲线方程(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．1(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn＜0)．基础自测1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D．(，0)【解析】双曲线的方程可化为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，∴c＝，∴右焦点为.【答案】C2．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1【解析】渐近线方程可化为y＝±x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴＝2，解得a＝±2.由题意知a＞0，∴a＝2.【答案】C3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．【解析】依题意c－a＝1，①又e＝＝2，即c＝2a②由①②联立，得a＝1，c＝2.∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线C为x2－＝1.【答案】x2－＝15．(2013·北京高考)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【解析】∵e＝，∴＝，即＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x.【答案】B6．(2013·陕西高考)双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．【解析】－＝1中，a＝4，b＝，∴c＝.而e＝，∴＝，∴m＝9.【答案】9考点一双曲线的定义及标准方程例1．（2013广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为－＝1.答案：B2.(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理cos∠F1PF2＝＝，选C.2【答案】C方法技巧利用双曲线定义求方程，要注意三点：1距离之差的绝对值，22a＜|F1F2|，3焦点所在坐标轴的位置.跟踪练习（2011山东）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.答案：A考点二双曲线的几何性质例（2014山东）已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。【答案】【解析】由题意知，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，即代入双曲线方程为，得，渐近线方程为.跟踪练习(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．【解析】设点P在双曲线右支上．∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，且∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.又点P在双曲线右支上，∴|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a.∴e＝＝＝＋1.【答案】＋13
