数学奥林匹克题解 代数-集合、数与式VIP免费

代数-集合、数与式B1－001把含有12个元素的集分成6个子集，每个子集都含有2个元素，有多少种分法？【题说】1969年～1970年波兰数学奥林匹克三试题5．【解】将12个元素排成一列有12！种方法．排定后，从左到右每2个一组就得到6个2元子集．同一组中2个元素顺序交换得到的是同一子集．6个子集顺序交换得到的是同样的分法，因此共有种不同的分法．[别解]设a1是集中的一个元素，将a1与其余11个元素中的任一个结合，就得到含a1的2元子集，这种2元子集共有11种．确定含a1的子集后，设a2是剩下的一个元素，将a2与其余9个元素中的任一个结合，就得到含a2的2元子集，这种子集共有9种．如此继续下去，得到6个2元子集．共有11×9×7×5×3=10395种分法．B1－002证明：任一个有限集的全部子集可以这样地排列顺序，使任何两个邻接的集相差一个元素．【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题5．【证】设有限集A含n个元素．当n=1时，子集序列φ，A即满足条件．假设n=k时命题成立，对于k＋1元集A=｛x1，x2，…，xk+1｝由归纳假设，{x1，x2，…，xk}的子集可排成序列B1，B2，…，Bt（t=2k）满足要求．因此A的子集也可排成序列B1，B2，…，Bt，Bt∪{xk+1}，Bt-1∪{xk+1}，…，B2∪{xk+1}B1∪{xk+1}，满足要求．于是命题对一切自然数n均成立．B1－003设1≤r≤n，考虑集合{1，2，3，…，n}的所有含r个元素的子集及每个这样的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切这样的子集各自的最小元素的算术平均数．证明：【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题2．这n－k个数中选出）．所以将（1）式右边的和写成一个表用心爱心专心将上表每一行加起来，再将这些行和相加便得（1）的右边的分子，现B1－004定义一个数集的和为该集的所有元素的和．设S是一些不大于15的正整数组成的集，假设S的任意两个不相交的子集有不相同的和，具有这个性质的集合S的和的最大值是多少？【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题12．【解】先证明S元素个数至多是5．如果多于5个，则元素个数不S的元素个数≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65．如果S的和≥62，则S的元数为5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）．这时S中无其它的连续整数，因而只有一种情况即｛15，14，13，11，9），不难看出它不满足条件．所以，S的和≤61．特别地，S={15，14，13，11，8}时，和取最大值61．B1－006对有限集合A，存在函数f：N→A具有下述性质：若|i－j|是素数，则f（i）≠f（j），N={1，2，…}．求有限集合A的元素的最少个数．【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题4．【解】1，3，6，8中每两个数的差为素数，所以f（1），f（3），f（6），f（8）互不相同，|A|≥4．另一方面，令A={0，1，2，3}．对每一自然数n，令f（n）为n除以4所得余数，则在f（i）=f（j）时，|i－j|被4整除．因而f是满足条件的函数．于是，A的元素个数最少为4．B1－007集合{1，2，3，…，100}的某些子集，满足条件：没有一个数是另一个数的2倍．这样的子集中所含元素的个数最多是多少？【题说】1991年河南省数学奥林匹克集训班一试题1（6）．原题为选择题．【解】令A1=｛51，52，…，100｝，A2=｛26，27，…，50｝，A3=｛13，14，…，25｝，A4=（7，8，9，10，11，12），A5=（4，5，6｝，A6={2，3}，A7={1}．A1∪A3∪A5∪A7共50＋13＋3＋1=67个元素，每一个都不是另一个的两倍．若集合B｛1，2，…，100｝，其中每一个数都不是另一个的两倍，则在a∈B∩A2时，2aB，因此|B∩A2|＋|B∩A1|≤50．同样|B∩A4|＋|B∩A3|≤13，|B∩A6|＋|B∩A5|≤3．因此|B|≤67．本题答案为67．B1－008设集合Sn={1，2，…，n）．若X是Sn的子集，把X中所有数之和称为X的“容量”（规定空集容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．（1）求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等；用心爱心专心（2）求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集容量之和，与所有偶子集容量之和相等．（3）当n≥3时，求Sn所有奇子集的容量之和．【题说】1992年全国联赛二试题2．【证】设S为Sn的奇子集，令则T是偶子集，S→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T...