压轴题命题区间(四)数__列数列的性质[典例](1)(2017·西安质检)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y375961824数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2018＝()A．7564B．7549C．7546D．7539(2)(2016·合肥质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是()A．{an}是单调递减数列B．{Sn}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列[解析](1) 数列{xn}满足x1＝1，且对任意n∈N*．点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，∴xn＋1＝f(xn)，∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝3，…，∴数列{xn}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2018＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＋x2＝504×15＋4＝7564．故选A．(2)由于{an}是等比数列，则a3a5＝a＝4，又a2＝12，则a4＞0，a4＝2，q2＝，当q＝－时，{an}和{Sn}不具有单调性，选项A和B错误；a2n＝a2q2n－2＝12×n－1单调递减，选项C正确；当q＝－时，{S2n}不具有单调性，选项D错误．[答案](1)A(2)C[方法点拨](1)解决数列的单调性问题的下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．[对点演练]1．(2016·安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项和为Sn，则S2016＝()A．504B．588C．－588D．－504解析：选C a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}是周期为4的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－， 2016＝4×504，∴S2016＝504×＝－588．2．(2016·全国乙卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝．又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8．故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·＝2＝2．记t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6．又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64．答案：64数列的和[典例]如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足条件a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”．(1)设{bn}是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1＝1，b5＝13．依次写出{bn}的每一项；(2)设{cn}是2m＋1项的“对称数列”，其中cm＋1，cm＋2，…，c2m＋1是首项为a，公比为q的等比数列，求{cn}的各项和Sn．[解](1)设数列{bn}的前4项的公差为d，则b4＝b1＋3d＝1＋3d．又因为b4＝b5＝13，解得d＝4，所以数列{bn}为1,5,9,13,13,9,5,1．(2)由题意得，当q≠1时，Sn＝c1＋c2＋…＋c2m＋1＝2(cm＋1＋cm＋2＋…＋c2m＋1)－cm＋1＝2a(1＋q＋q2＋…＋qm)－a＝2a·－a．而当q＝1时，Sn＝(2m＋1)a．∴Sn＝[方法点拨](1)本题在求等比数列{cn}前n项和时可利用分类讨论思想．(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．⑤求数列{|an|}的前n项和要用到分类讨论．[对点演练](2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．解：(1)由题意得解得又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*．(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1．当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3．设数列{bn}的...
