高考数学复习点拨 深层探究---圆的直径式方程VIP免费

深层探究——圆的直径式方程题目：已知两点124,96,3PP和，求以12PP为直径的圆的方程。分析1：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段12PP的中点C，半径为1CP。解法1：设圆心,Cab，半径为r，则由中点坐标公式得46935,622ab，再由两点间距离公式得221459610rCP，∴所求圆的方程为225610xy。分析2：从图形上动点P的性质考虑，由直径上圆周角是直角可知，12PPPP，这个性质用等式表示就是121PPPPkk或2221212PPPPPP，再转化为代数方程。解法2：设,Pxy为圆上不同于12,PP的任意一点，∵直径上圆周角是直角，∴12PPPP，（1）当12,PP的斜率都存在时，121PPPPkk，∴93146yyxx，∴221012510xyxy，即225610xy。①（2）当12,PPPP斜率有一个存在时，有46xx或，这时点P的坐标是4,3或6,9，它们都满足方程①，又124,96,3PP和的两点坐标也满足方程①，∴所求圆的方程为225610xy。解法3：设,Pxy为圆上任意一点，则2221212PPPPPP，∴22222249634693xyxy，化简得221012510xyxy，∴所求圆的方程为225610xy。用心爱心专心结论：一般地，以11,Axy、22,Bxy为直径两端点的圆的方程为12xxxx120yyyy，此式被称为圆的直径式方程，下面给出证明证法1：设,Pxy为圆上任意一点，当P点与AB或点不重合时，有PAPB。又1212,PAPByyyykkxxxx，∴12121yyyyxxxx，即12xxxx120yyyy①当P点与A点重合时，有11,xxyy，显然满足①式；当P点与B点重合时，有22,xxyy，显然满足①式。综上可知，以11,Axy、22,Bxy为直径两端点的圆的方程为12xxxx120yyyy。证法2：∵,AB为圆之直径端点，∴圆心坐标为1212,22xxyy，圆的半径为22121212rxxyy，∴所求圆的方程为2222121212121224xxyyxyxxyy，即22121212120xyxxxyyyxxyy。又可化为12xxxx120yyyy。点评：证法1是利用求轨迹的一般方法来处理的；证法2易想，但较繁。用心爱心专心