立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离求解图K43－11．如图K43－1所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝.若以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，则点E的坐标为()A．(1,1,1)B．(2,1,1)C.D.2．若a＝(1,2,1)，b＝(－2,0,1)分别是直线l1，l2的方向向量，则l1，l2的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．相交或异面3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是()A.B.C.D．34．方向向量为s＝(1,1,1)的直线l经过点A(1,0,0)，则坐标原点O(0,0,0)到该直线的距离是()A.B.C.D.5．如图K43－2，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为1，则异面直线AD1和C1D所成角的余弦值是()图K43－2A.B．－C.D.6．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(如图K43－3)，则B、D间的距离为()图K43－3A．1B．2C.D．2或7．[2011·河南六市联考]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则异面直线AD1与CE所成角为()A.B.C.D.8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.1图K43－49．如图K43－4，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时，AE＝()A．1B.C．2－D．2－10．已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OA＝1，OB＝OC＝2，则平面EAB与平面ABC夹角的余弦值是________．11．如图K43－5，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于________．图K43－5图K43－612．如图K43－6，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO＝BO＝BC＝a，则AC＝______________________________________________________________13．如图K43－7，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．图K43－714．(10分)如图K43－8，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC－A1B1C1与正三棱锥B－ACD组成，其中，AB⊥BC.它的主视图、俯视图、左视图的面积分别为2＋1,2＋1,1.(1)求直线CA1与平面ACD所成角的正弦值；(2)在线段AC1上是否存在点P，使B1P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．图K43－815．(13分)如图K43－9，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；2(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．图K43－916．(12分)如图K43－10，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．图K43－103答案解析【基础热身】1．A[解析]可知A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)，令P(0,0,2m)(m>0)，则E(1,1，m)，AE＝(－1,1，m)，DP＝(0,0,2m)，∴cos〈DP，AE〉＝＝，m＝1.∴E的坐标为(1,1,1)．2．D[解析]根据共线向量定理，显然a，b不平行，所以l1，l2的位置关系是相交或异面．3．B[解析]两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝|OA·n0|＝.4．D[解析]直线l的一个单位法向量s0＝，向量OA＝(1,0,0)，故点O到直线l的距离为d＝＝＝.【能力提升】5．C[解析]建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，AD1＝(－2,0,1)，DC1＝(0,2,1)，故异面直线AD1和C1D所成角的余弦值为|cos〈AD1，DC1〉|＝＝.6．D[解析] ∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理BA·AC＝0， AB和CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或120°. BD＝BA＋AC＋CD，∴BD2＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＋2BA·AC＋2AC·CD＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉＝∴|BD|＝2或，即B、D间的距离为2或，故选D.7．D[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则有A(0,0,0)，D...
