高二数学 上学期直线的方程习题十VIP专享VIP免费

高二数学上学期直线的方程习题十［例1］过点P(2，1）作直线l交x，y正半轴于AB两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l的方程.解：设直线l的方程为：y－1＝k（x－2）（k≠0）令y＝0解得x＝2－x＝0，解得y＝1－2k∴A（2－，0），B（0，1－2k），∴｜AP｜·｜BP｜＝当且仅当k2＝1即k＝±1时，｜PA｜·｜PB｜取到最小值.又根据题意k＜0∴k＝－1所以直线l的方程为：x＋y－3＝0评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k＝1的情形.［例2］一直线被两直线l1：４x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与l1，l2的交点分别是A、B，设A(x0，y0），则B点坐标为(－x0，－y0)因为A、B分别在l1，l2上，所以①＋②得：x0＋6y0＝0，即点A在直线x＋6y＝0上，又直线x＋6y＝0过原点，所以直线l的方程为x＋6y＝0.［例3］直线Ax＋By－1＝0在y轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则()A.A＝，B＝1B.A＝－，B＝－1C.A＝，B＝－1D.A＝－，B＝1解：将直线方程化成斜截式y＝－.因为＝－1，B＝－1故否定A、D.又直线x－y＝3的倾斜角α＝，∴直线Ax＋By－1＝0的倾斜角为2α＝，用心爱心专心①②∴斜率－＝-∴A＝－∴A＝－，B＝－1故选B.［例4］若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件()A.A、B、C同号B.AC＜0，BC＜0C.C＝0，AB＜0D.A＝0，BC＜0解法一：原方程可化为y＝－x－（B≠0）.∵直线通过第二、三、四象限，∴其斜率小于0，y轴上的截距小于0，即－＜0，且－＜0∴＞0，且＞0即A、B同号，B、C同号.∴A、B、C同号，故选A.解法二：(用排除法)若C＝0，AB＜0，则原方程化为y＝－x.由AB＜0，可知－＞0.∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.若A＝0，BC＜0，则原方程化为y＝－.由BC＜0，得－＞0.∴此时直线与x轴平行，位于x轴上方，经过一、二象限.故排除D.若AC＜0，BC＜0，知A、C异号，B、C异号∴A、B同号，即AB＞0.∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A.［例5］直线y＝ax＋b（a＋b＝0）的图象是()用心爱心专心解法一：由已知，直线y＝ax＋b的斜率为a，在y轴上的截距为b.又因为a＋b＝0.∴a与b互为相反数，即直线的斜率及其在y轴上的截距互为相反数.图A中，a＞0，b＞0，图B中，a＜0，b＜0图C中，a＞0，b＝0故排除A、B、C.选D.解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a≠0，于是令y＝0，解得x＝－.又因为a＋b＝0∴a＝－b，∴x＝－＝＋1∴直线在x轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D.用心爱心专心