第四节幂函数与二次函数A级·基础过关|固根基|1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C设幂函数f(x)＝xα，代入点(3，)，得＝3α，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列，且f(0)＝－4，则f(x)()A．有最小值－4B．有最大值－4C．有最小值－3D．有最大值－3解析：选D由a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，得显然a<0，故f(x)有最大值，最大值为＝＝＝－3，故选D.3．(2019届湖北鄂东南省级示范高中联考)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1＜m＜0＜n＜1B．－1＜n＜0＜mC．－1＜m＜0＜nD．－1＜n＜0＜m＜1解析：选D幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1＜2n，∴－1＜n＜0.综上所述，－1＜n＜0＜m＜1.4．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为()A．[0，12]B.C.D.解析：选B因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b＝0.因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，所以a＝1，所以f(x)＝x2＋x＝－，所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故当x＝－时，函数f(x)取得最小值－.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为，故选B.5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a值有关，且与b值有关B．与a值有关，但与b值无关C．与a值无关，且与b值无关D．与a值无关，但与b值有关解析：选B因为函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定与a有关，与b无关．16．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是____________．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，若f(x)在(－∞，4)上单调递增，则解得－≤a＜0.综上，实数a的取值范围是.答案：7．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________．解析：设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.答案：8．若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________．解析：依题意，知a＞0，且Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且b＞0.故a＋4b≥2＝2，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立．所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．解：幂函数f(x)的图象经过点(2，)，∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又 m∈N*，∴m＝1，∴f(x)＝x.则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2－a)＞f(a－1)得解得1≤a＜.∴a的取值范围为.10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－∈[－2，3]，所以f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知，a＝－或－1.B级·素养提升|练能力2|11.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a
b＝.因为y＝是减函数，所以a＝
