专题15导数在函数中的应用一、本专题要特别小心：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3.已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5.含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二．【知识点】1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＞0，在x＝x0处的右边f′(x0)＜0，则f(x)在x＝x0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＜0，在x＝x0处的右边f′(x0)＞0，则f(x)在x＝x0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y＝x3在x＝0处导数值为零，但x＝0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是[a，b]上的最小值.三．【题型方法总结】（一）存在问题求参数例1.已知函数，，，使得成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，故的最小值为;1函数≤a,故a≥e故选：A．练习1．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得函数的定义域为．又， 函数至少存在一个零点，∴方程有解，即有解．令，则，∴当时，单调递增；当时，单调递减．∴．又当时，；当时，．要使方程有解，则需满足，2∴实数的取值范围是．故选D．练习2．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，，，函数与函数唯一交点为，又，且，，在上恒小于零，即在为单调递减函数，又是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数与函数的大致图像如图：要使函数与函数只有唯一一个交点，则，3，，即，解得，又所以实数的范围为。故答案选A练习3.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以因为，因此，，当时；当时；因此最小值为1，从而，选A.练习4.已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D4【解析】令，则：，，设，，故，由可得，在上，，为减函数，在上，，为增函数，的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，则，即，解得：.故选：D.（二）任意问题求参数5例2.已知函数，对于，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题得当时，,所以，所以函数f(x)在[0,2]上单调递增，因为f(1)=4+cosπ=3，所以f(1),所以≤1，因为≤1且0≤≤2所以0≤≤1.当≤1时，所以，当x=0时，显然成立.当0＜x≤2时，，所以g(x)在（1,2）单调递增，在（0,1）单调递减，所以，所以.当≥0时，，当x=0时，显然成立.当0＜x≤2时，，令，所以k(x)在（0，2）单调递增，所以k(x)>k(0)=0,所以函数所以函数h(x)在（0,2]上单调递增，所以h(x)最大值=h(2)=.所以.综上得.故选：B练习1.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B6【解析】构造函数，当时函数单调递增，无最大值；当时，函数在函数最小值为令函数在故得到故答案为：B练习2．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以,令,,则，令,则或，当时，；当时，；当时，；因此由图得选D.7练习3.设函数在R上存在导函数，对于任意的实数，都，当时，，若，则实数的最小值为（）...
