高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第二编 讲专题 专题四 立体几何 第3讲 立体几何中的热点问题练习 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲立体几何中的热点问题「考情研析」高考对立体几何的考查，以几何元素的平行、垂直为重点．为了考查学生应用知识的能力和意识，高考试题中常以解答题的形式呈现，折叠问题和探索性问题是常考的综合题型.核心知识回顾1.折叠问题以折叠手段，将平面图形折成立体图形，据此提出的立体几何问题是折叠问题．解决此类问题的一般过程是：通过想象，充分认识图形在折叠前后的变与不变，根据立体几何中的相关概念、公理、定理等知识，准确推理论证，直到得出最终结论．2．探索性问题在高考数学问题中，有类问题是已知结论探求条件或在一定条件下探求结论是否存在，这类条件开放或结论开放的问题，通常称为探索性问题．解决此类问题常可以使用分析法来寻找解题思路．热点考向探究考向1折叠问题例1(2019·蚌埠市高三下学期第二次教学质量检查)如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠D＝60°，点H为DC的中点，现以线段AH为折痕将菱形折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点．(1)求证：平面PBC∥平面EFH；(2)求三棱锥P－EFH的体积．解(1)证明：因为在菱形ABCD中，E，H分别为AB，CD的中点，所以BE綊CH，四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，所以EH∥平面PBC．又点E，F分别为AB，AP的中点，所以EF∥BP，又EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC．而EF∩EH＝E，所以平面EFH∥平面PBC．(2)因为在菱形ABCD中，∠D＝60°，所以△ACD为正三角形，所以AH⊥CD，AH＝，DH＝PH＝CH＝1.折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH.在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，所以V三棱锥H－PEF＝V三棱锥H－AEF，而V三棱锥H－PEF＋V三棱锥H－AEF＝V三棱锥H－PAE，所以V三棱锥P－EFH＝V三棱锥H－PEF＝V三棱锥H－PAE＝V三棱锥P－AEH＝×××1＝.(2019·沈阳二模)如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图2)，在图2所示的几何体D－ABC中．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)若点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积．解(1)证明：在图1中，由题意，知AC＝BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC．因为点E为AC的中点，如图，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，所以ED⊥BC．又AC⊥BC，AC∩ED＝E，所以BC⊥平面ACD．(2)取DC的中点F，连接EF，BF，因为点E是AC的中点，所以EF∥AD，又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，所以AD∥平面BEF，由(1)知，DE为三棱锥B－ACD的高，因为三棱锥F－BCE的高h＝DE＝×＝，S△BCE＝S△ABC＝××2×2＝2，所以三棱锥F－BCE的体积为V三棱锥F－BCE＝S△BCE·h＝×2×＝.考向2探索性问题例2如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直．(1)求证：平面AFC⊥平面CBF；(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面DAF？并说明理由．解(1)证明： 平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF， AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又AB为圆O的直径，∴AF⊥BF， CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF. AF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.(2)存在满足条件的点M.取CF的中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，则MN綊CD，又AO綊CD，则MN綊AO，∴四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.即存在一点M为CF的中点，使得OM∥平面DAF.解决立体几何中探索性问题的基本思路：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点．(1)求证：AC1⊥平面B1D1C；(2)过E构造一条线段与平面B1D1C垂直，并证明你的结论．解(1)证明： AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.如图，连接A1C1交B1D1于O， A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1.同...