高考数学一轮复习 课后限时集训66 坐标系 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训66坐标系建议用时：45分钟1．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．[解](1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)设A，B.把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋3，∴A.把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋4，∴B.∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB＝(4＋3)(3＋4)sin＝12＋.2．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．[解]在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径|PC|＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.3．(2019·哈尔滨模拟)以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的方程为x＋y＝3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线．(1)求C1与C2的极坐标方程；(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O)，C2与C3的一个公共点为B，求|OA|－的取值范围．[解](1)曲线C1的方程为(x－1)2＋y2＝1，C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，C2的方程为x＋y＝3，其极坐标方程为ρ＝，(2)C3是一条过原点且斜率为正值的直线，C3的极坐标方程为θ＝α，α∈，联立C1与C3的极坐标方程得ρ＝2cosα，即|OA|＝2cosα.联立C2与C3的极坐标方程得ρ＝，即|OB|＝，所以|OA|－＝2cosα－cosα－sinα＝cos，又α∈，所以|OA|－∈(－1,1)．4．在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，曲线C的参数方程为(a＞0且a≠1，θ为参数)，将曲线C上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，得到曲线M.(1)若a＝2，求曲线M的极坐标方程；(2)若直线θ＝与曲线M相交于两个不同的点P，Q，且P为OQ的中点，求a的值及|PQ|的值．[解](1)设(x，y)为曲线M上的任意一点，其在曲线C上相应点的坐标为(x′，y′)，由题意得即∵∴即消去参数θ得曲线M的普通方程为(x－2)2＋y2＝a2，即x2＋y2－4x＋4＝a2，∴曲线M的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋4－a2＝0，又∵a＝2，∴曲线M的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)∵直线θ＝与曲线M相交于两个不同的点P，Q，∴联立方程即ρ2－2ρ＋4－a2＝0，∴Δ＝12－4(4－a2)＞0，∴a＞1或a＜－1(舍去)，设P，Q，则ρ1＋ρ2＝2，ρ1·ρ2＝4－a2，又∵P为OQ的中点，∴ρ2＝2ρ1，∴ρ1＝，ρ2＝，∴4－a2＝×＝，∴a＝，|PQ|＝ρ2－ρ1＝.