2-11《导数的应用》（1）1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·ex>0，解得x>2.答案：D2.已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()解析：f(x)＝x2＋sin(＋x)＝x2＋cosx，f′(x)＝x－sinx.易知该函数为奇函数，所以排除B、D.当x＝时，f′()＝×－sin＝－<0，可排除C.选A.答案：A3.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，∵f′(1)＝e－1≠0，∴f(x)在x＝1处不能取到极值；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，令H(x)＝xex＋ex－2，则H′(x)＝xex＋2ex>0，x∈(0，＋∞)．说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，因此当x01时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.答案：C4.函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．解析：f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案：35.已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．解析：f′(x)＝2mx＋－2，根据题意得f′(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以2m≥－，求出－在x∈(0，＋∞)上的最大值为1，则m≥.检验：当m＝时满足题意．答案：
