专题限时集训(四)数列求和与综合应用[专题通关练](建议用时:30分钟)1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n=()A.9B.8C.7D.6D[因为a1=2,an+1=2an,所以{an}是首项和公比均为2的等比数列,所以Sn==126,解得n=6.]2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SnSn+1<0的正整数n的值为()A.10B.11C.12D.13C[由S6>S7>S5,得S7=S6+a7<S6,S7=S5+a6+a7>S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即满足SnSn+1<0的正整数n的值为12,故选C.]3.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.C[依题意知{an}的公比q≠1,否则9S3=27a1≠S6=6a1,9S3=S6⇒9×=⇒q3=8⇒q=2,∴数列是首项为=1,公比为的等比数列,∴数列的前5项和为S5==.]4.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=()A.0B.100C.-100D.10200B[由题意,a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100,故选B.]5.已知数列{an}满足an=,则a1+++…+的值为()A.B.C.D.A[由题意,因为数列{an}满足an=,所以数列的通项公式为==-,所以a1+++…+=1-+-+…+-=1-=.]6.(2019·太原模拟)已知数列{an}满足=,且a2=2,则a4=________.11[因为数列{an}满足=,所以an+1+1=2(an+1),即数列{an+1}是等比数列,公比为2,则a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.]7.已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和点Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9=________.40[因为过点P(n,Sn)和点Q(n+1,Sn+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n-2,所以=Sn+1-Sn=an+1=3n-2(n∈N*),所以a2=1,a4=7,a5=10,a9=22,所以a2+a4+a5+a9=40.]8.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…++=________.[由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,an-an-1=(n-1)+1,n≥2.以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1,n≥2,把a1=1代入上式得,an=1+2+3+…+(n-1)+n=,==2,则++…++=21-+-+…+-+-=21-=.][能力提升练](建议用时:15分钟)9.(2019·泰安模拟)数列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2019=()A.1B.-2C.3D.-3A[因为an+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2(n≥3).所以an+3=-an(n∈N*),所以an+6=-an+3=an,故{an}是以6为周期的周期数列.因为2019=336×6+3,所以a2019=a3=a2-a1=3-2=1.故选A.]10.(2019·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,得a1=1.当n≥2时,有Sn-1=2an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.所以{an}是公比为2,首项为1的等比数列,故通项公式an=2n-1(n∈N*).(2)bn===2,Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×+2×+2×+…+2×=.11.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.[解](1)设{an}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,aq=a1q2,又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知:S2n+1==(2n+1)bb+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=.因此Tn=c1+c2+…+cn=+++…++,又Tn=+++…++,两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.题号内容押题依据1由an与Sn的关系求通项公式由an与Sn的关系求通项公式常以小题形式出现,有时也出现在解答题的第(1)问,难度...