专题7平面向量与其他知识的综合问题平面向量与其他知识的综合问题★★★○○○○平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．[例]已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R.1(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．[解](1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．1.(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若�AC·�BE＝1,则AB的长为________．(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若�AE·�AF＝1，则λ的值为________．[解析](1)设|�AB|＝x，x＞0，则�AB·�AD＝x.又�AC·�BE＝(�AD＋�AB)·(�AD－�AB)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.(2)由题意可得�AB·�AD＝|�AB|·|�AD|cos120°＝2×2×＝－2，在菱形ABCD中，易知�AB＝�DC，�AD＝�BC，所以�AE＝�AB＋�BE＝�AB＋�AD，�AF＝�AD＋�DF＝�AB＋�AD，�AE·�AF＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2.[答案](1)(2)22．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO―→＝(�AB＋�AC)，则�AB与�AC的夹角为________．解析：由AO―→＝(�AB＋�AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以�AB与�AC的夹角为90°.2答案：90°3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.1.在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是“�AB·�BC＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若△ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即�AB·�BC不一定等于0，充分性不成立；若�AB·�BC＝0，则AB⊥BC，故角B为直角，即△ABC为直角三角形，必要性成立．故“△ABC为直角三角形”是“�AB·�BC＝0”的必要不充分条件．2.若非零向量�AB与�AC满足·�BC＝0且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形解析：选C由·�BC＝0知，角A的平分线与BC垂直，∴|�AB|＝|�AC|；由·＝知，cosA＝，∴A＝60°.∴△ABC为等边三角形．3.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则B＝________.4.已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求tan2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．解：(1) a∥b，∴sinx·(－1)－·cosx＝0，即sinx＋cosx＝0，tanx＝－，∴tan2x＝＝.(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sinxcosx－＋cos2x＋1＝sin2x－＋cos2x＋＋1＝sin.3 －≤x≤0，∴－≤2x＋≤，∴－≤sin≤，∴f(x)在上的值域为.5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则�AE·�BD＝________.解析：选向量的基底为�AB，�AD，则�BD＝�AD－�AB，�AE＝�AD＋�AB，那么�AE·�BD＝·(�AD－�AB)＝�AD2－�AB2－�AB·�AD＝4...
