第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式时间：45分钟分值：100分一、选择题1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝()A．－3B．－C．－D．－7解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.答案B2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为()A．－B．－C．0D.解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·－·＝－.答案A3．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2解析由f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为1.答案A4．(2015·嘉兴模拟)的值是()A.B.C.D.解析原式＝＝＝＝.答案C5．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝()A.B．－C.D．－解析cos＝cos＝coscos＋sinsin，∵0<α<，则<＋α<，∴sin＝.又－<β<0，则<－<.∴sin＝.故cos＝×＋×＝.答案C6．已知sin＋sinα＝－，则cos等于()A．－B．－C.D.解析由sin＋sinα＝－，得sinα＋cosα＋sinα＝－，所以sinα＋cosα＝－.故sin＝－.于是sin＝－.所以cos＝cos＝－sin＝.答案D二、填空题7．已知tan＝2，则的值为________．解析由tan＝2，得＝2，∴tanx＝.∴＝＝＝＝.答案8．已知sin＝，则cos＝________.解析cos＝2cos2－1，又cos＝sin＝，所以cos＝－.答案－9．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos＝－sinφ＝－＝－.答案－三、解答题10．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.解(1)f＝Asin＝，∴A·＝，A＝，(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin＋·sin＝，∴＝.∴cosθ＝，cosθ＝.又θ∈，∴sinθ＝＝.∴f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.11．(2014·四川卷)已知函数f(x)＝sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．解(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由已知，有sin＝cos·(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.1．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于()A．－B．－C．－D.解析由tan＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.答案A2．定义运算＝ad－bc，若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于()A.B.C.D.解析依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<.故cos(α－β)＝＝.而cosα＝，∴sinα＝.于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，故β＝，选D.答案D3．已知α，β∈，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是________．解析由tan(α＋β)＝4tanβ，得＝4tanβ，解得tanα＝，因为β∈，所以tanβ>0.所以tanα＝≤＝，当且仅当＝4tanβ，即tan2β＝，tanβ＝时取等号，所以tanα的最大值是.答案4．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．解(1)f(x)＝sin＋cos＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin.因为x∈[0，π]，从而－x∈.故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0，解得
