高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第55讲 空间向量的概念及运算练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第55讲空间向量的概念及运算1．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(B)A．0B．6C．－6D．±6由a·b＝0得m＋10－2m－4＝0，所以m＝6.2．已知▱ABCD，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(D)A．(－5，－13,3)B．(5，－13,3)C．(－5,13，－3)D．(5,13，－3)OA＋OC＝OB＋OD，设OD＝(x，y，z)，则(7,8，－2)＝(x＋2，y－5，z＋1)，所以x＝5，y＝13，z＝－3，即OD＝(5,13，－3)．3．已知向量m＝(4，k，k－1)，n＝(k，k＋3，)，若m∥n，则k的值等于(A)A．－2B．－2,6C．3，－2D．6,3，－2代入检验可知选A.4．已知a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则a与b的夹角是(D)A．30°B．60°C．90°D．150°因为a·b＝0×1＋(－1)×2＋1×(－1)＝－3，又|a|＝＝，|b|＝＝，由cos〈a，b〉＝＝＝－，得〈a，b〉＝150°.5．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF·DC的值等于－.EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|cosBD，DC＝cos120°＝－.6．若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，那么a·b＝3；|a－2b|＝.由a·b＝|a||b|cosa，b＝3×2×cos60°＝3，|a－2b|＝＝.7．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，－1,4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2,1)．(1)求证：AP是平面ABCD的法向量；(2)求平行四边形ABCD的面积．(1)证明：AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋4×1＝0，AD·AP＝4×(－1)＋2×2＋0×1＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，所以AP⊥平面ABCD.所以AP是平面ABCD的法向量．(2)因为AB＝(2，－1,4)，AD＝(4,2,0)，所以|AB|＝＝，|AD|＝＝2，AB·AD＝2×4＋(－1)×2＋4×0＝6，所以cos∠BAD＝cosAB，AD＝＝，则sin∠BAD＝＝，所以S▱ABCD＝|AB|·|AD|sin∠BAD＝×2×＝8.8．如图，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN等于(B)A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－cMN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.9．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点共面(填共面或不共面)．AB＝(3,4,5)，AC＝(1,2,2)，AD＝(9,14,16)，设AD＝xAB＋yAC.即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，所以从而A、B、C、D四点共面．10．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG＝CD，应用空间向量的运算解决以下问题：(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长(H为C1G的中点)．以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知有E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，G(0，，0)，C1(0,1,1)．(1)证明：因为EF＝(，，－)，B1C＝(－1,0，－1)，所以EF·B1C＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0，所以EF⊥B1C.(2)因为C1G＝(0，，0)－(0,1,1)＝(0，－，－1)，所以|C1G|＝，|EF|＝，EF·C1G＝.所以cos〈EF，C1G〉＝＝.(3)因为H为C1G的中点，所以H(0，，)，又F(，，0)，所以FH的长为|HF|＝＝.