高考数学复习点拨 三角形中的最值问题新人教A版VIP免费

三角形中的最值问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明：例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）A．∏/4B.∏/3C.∏/6D.正弦值是1/3的锐角解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα和ccosα，故L=c+csinα+ccosα=c+1.414csin(α+∏/4)∵0<α<∏/2∴当α+∏/4=∏/2时，Lmax=c+1.414c故选A解法2.设两条直角边为a,b,周长为L，则斜边c=22ba＋是定值。L=a+b+22ba＋≤）＋（222ba+22ba＋=(2+1)22ba＋(当且仅当a=b时取等号)即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏/4从而选A.例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为.方法Ⅰ.（三角函数的有界性）设该直角三角形的斜边是c，一个锐角是A，面积是S，则两条直角边是csinA和ccosA，根据题意csinA+ccosA+c=1,即c=AAsinsin11＋＋①S=21csinA*ccosA=41sin2A≤41(当且仅当A=∏/4时取等号)用心爱心专心把A=∏/4代入①得c=211＋∴Smax=41*(211＋)2=4223－例3．已知圆o的半径是R，在它的内接⊿ABC中，有2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB成立，求⊿ABC的面积S的最大值。解：根据题意得：2R(224Ra-224Rc)=(2a-b)*Rb2化简可得c2=a2+b2-2ab,由余弦定理可得：C=45,A+B=135S=21absinC=212RsinA*2RsinB*sinC=2sinAsin(135-A)=22R(2sin(2A+45)+1∵0