专题六立体几何第一讲空间几何体及三视图素能演练提升九SUNENGYANLIANTISHENGJIU掌握核心,赢在课堂1.(2014福建高考,理2)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,所以选A.答案:A2.设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于()A.B.C.D.解析:设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=a2,即a=R,则.故选D.答案:D3.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,4)如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直,且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为()A.B.C.D.解析:设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC边AC上的高为h,则ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形,其面积为.故选B.答案:B4.(2014甘肃兰州、张掖联考,4)下面为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为()A.B.πC.3πD.3解析:由三视图知该几何体是由直径为1的球与底面边长为2、高为3的正三棱柱组合的几何体.故该几何体的体积V=V正三棱柱+V球=×2××3+×π×=3.答案:D5.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为,则该三棱锥外接球的表面积为()A.2πB.6πC.4πD.24π解析:依题意可知解得而三棱锥A-BCD可补成一个长方体,该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球,故其外接球的半径R=,所求表面积S球=4πR2=6π.答案:B6.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为()A.B.C.D.解析:记球O的半径为R,作SD⊥AB于D,连接OD,OS,则有R=,SD⊥平面ABC.注意到SD=,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值等于,因此高SD的最大值是=1.又三棱锥S-ABC的体积等于S△ABC·SD=×22×SD=SD,因此三棱锥S-ABC的体积的最大值是×1=.答案:D7.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的全面积为.解析:由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为2的圆台,则此几何体的全面积S=π×1+π×9+π=10π+4π=26π.答案:26π8.(2014河南洛阳高三统考,14)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,若AB=BC=2,∠ABC=90°,AA1=2,则球O的表面积为.解析:由题设可知,直三棱柱ABC-A1B1C1可以补成一个球的内接长方体,所以球的直径为长方体的体对角线长,即=4,故球O的表面积S=4πR2=16π.答案:16π9.在半径为25cm的球内有一个截面,它的面积是49πcm2,求球心到这个截面的距离.解:设球半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,如图.∵S=πr2=49πcm2,∴r=7cm.∴d==24(cm).∴球心到这个截面的距离为24cm.10.(2014四川资阳模拟)如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=CD=2,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比.解:(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF.证明如下:连接CE,交DF于N,连接MN,由于M,N分别是AE,CE的中点,所以MN∥AC,由于MN⊂平面MDF,又AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)如图,将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF,三棱柱ADE-B'CF的体积为V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,则几何体ADE-BCF的体积VADE-BCF=V三棱柱ADE-B'CF-VF-BB'C=8-×2=.三棱锥F-DEM的体积V三棱锥M-DEF=×1=,故两部分的体积之比为=1∶4(答1∶4,4,4∶1均可).11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=×1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
