高考数学一轮复习 专题讲座4 立体几何在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

专题讲座4立体几何在高考中的常见题型与求解策略1.如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于()A．2B.C.D.解析：选A.设正方体的棱长为2，建立以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，EB＝(1，2，0)，EF＝(－1，0，1)．易知平面BCC1的一个法向量为CD＝(0，－2，0)，设平面EFC1B的法向量为m＝(x，y，z)，则m·EB＝x＋2y＝0，m·EF＝－x＋z＝0，令y＝－1，则m＝(2，－1，2)，故cos〈m，CD〉＝＝＝，tan〈m，CD〉＝2.故所求二面角的正切值为2.2．(2016·唐山统考)已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱锥DABC体积的最大值为，则球O的表面积为()A．36πB．16πC．12πD.π解析：选B.由题意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圆半径r＝，当三棱锥的体积取最大值时，VDABC＝S△ABC·h(h为点D到底面ABC的距离)⇒＝××h⇒h＝3，设R为球O的半径，则(3－R)2＝R2－r2⇒R＝2，所以球O的表面积为4π·22＝16π.3．已知多面体ABCA1B1C1的直观图和三视图如图所示，则平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值是________．解析：由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C1(－1，－1，2)，则CC1＝(－1，1，2)，A1C1＝(－1，－1，0)，A1C＝(0，－2，－2)．设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由得取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，而平面A1CA的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.答案：4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是________．解析：对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．答案：②③5．(2016·九江统考)如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝λAD＝λAA′(λ>0)，E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′.(1)求λ的值；(2)求二面角CA′BE的余弦值．解：以D为原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AA′＝AD＝2，则AB＝2λ，D(0，0，0)，A′(2，0，2)，D′(0，0，2)，B(2，2λ，0)，C(0，2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1，0，0)．(1)EF＝(0，－λ，－2)，D′A′＝(2，0，0)，A′B＝(0，2λ，－2)，因为EF⊥D′A′，EF⊥A′B，所以EF·D′A′＝0，EF·A′B＝0，即－2λ2＋4＝0，所以λ＝.(2)设平面EA′B的一个法向量为m＝(1，y，z)，则因为A′B＝(0，2，－2)，A′E＝(－1，，0)，所以所以y＝，z＝1，所以m＝.由已知得EF为平面A′BC的一个法向量，又EF＝(0，－，－2)，所以cos〈m，EF〉＝＝＝＝－.又二面角CA′BE为锐二面角，所以二面角CA′BE的余弦值为.6．(2015·高考江苏卷)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．解：以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1)由题意知，AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0，2，0)．因为PC＝(1，1，－2)，PD＝(0，2，－2)．设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PC＝0，m·PD＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1，1，1)是平面PCD的一个法向量．从而cos〈AD，m〉＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为BP＝(－1，0，2)，设BQ＝λ...