07等差数列与等比数列1.已知{an}是等比数列,an>0,且a52+a3a7=8,则log2a1+log2a2+…+log2a9=().A.8B.9C.10D.11解析▶ a52+a3a7=8,an>0,且{an}是等比数列,∴2a52=8,∴a5=2.∴log2a1+log2a2+…+log2a9=log2[(a1a9)(a2a8)·(a3a7)(a4a6)a5]=log2a59=9log22=9,故选B.答案▶B2.在等比数列{an}中,an>0,1a1,1a2,1a2+1成等差数列,且a1+2a2=2,则数列{an}的通项公式为.解析▶设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0,由题意得1a1+(1a2+1)=2a2,即a1-a2=a1a2,∴a1q=1-q.又a1+2a2=2,∴a1+2a1q=2.由{a1q=1-q,a1+2a1q=2,解得{a1=1,q=12或{a1=-2,q=-1(舍去),∴数列{an}的通项公式为an=(12)n-1.答案▶an=(12)n-13.如图所示的是“杨辉三角”数图,计算第1行的2个数的和,第2行的3个数的和,第3行的4个数的和,…,则第n行的n+1个数的和为.11第1行121第2行1331第3行14641第4行…解析▶1+1=2,1+2+1=4,1+3+3+1=8,1+4+6+4+1=16,则第n行的n+1个数的和为2n.答案▶2n4.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)2,n∈N*.(1)求证:数列{an}是等差数列.(2)设bn=12Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.解析▶(1) Sn=an(an+1)2,nN∈*,∴当n=1时,a1=S1=a1(a1+1)2(a1>0),解得a1=1;当n≥2时,由{2Sn=an2+an,2Sn-1=an-12+an-1,得2an=an2+an-an-12-an-1,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2).∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得an=n,Sn=n(n+1)2,bn=12Sn=1n(n+1)=1n-1n+1.∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.能力1▶等差、等比数列的基本运算【例1】设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析▶(法一)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则2S2=2(a1+a2)=2(a1+a1q),S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以3a1+a1+a1q+a1q2=4(a1+a1q),解得q=3,故an=3n-1.(法二)设等比数列{an}的公比为q,由3S1,2S2,S3成等差数列,易得q≠1,所以4S2=3S1+S3,即4a1(1-q2)1-q=3a1+a1(1-q3)1-q,解得q=3,故an=3n-1.答案▶3n-1在等差(比)数列问题中,最基本的量是首项a1和公差d(公比q),在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组,从而求出这两个量,那么其他问题也就会迎刃而解,这就是解决等差(比)数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围.1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,则数列{bn}的前15项和为().A.152B.135C.80D.16解析▶设等比数列{an}的公比为q,由a1+a3=30,a2+a4=S4-(a1+a3)=90,得公比q=a2+a4a1+a3=3,首项a1=301+q2=3,所以an=3n,bn=1log+33n=1+n,则数列{bn}是等差数列,其前15项和为15×(2+16)2=135.故选B.答案▶B2.设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=().A.2B.-2C.12D.-12解析▶由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1·S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-12.故选D.答案▶D能力2▶等差、等比数列的基本性质【例2】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S15>0,S16<0,则S1a1,S2a2,…,S15a15中最大的项为().A.S6a6B.S7a7C.S8a8D.S9a9(2)若等比数列{an}的各项均为正数,且a8a13+a9a12=2e(e为自然对数的底数),则lna1+lna2+…+lna20=.解析▶(1)由S15=15(a1+a15)2=15×2a82=15a8>0,S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)<0,可得a8>0,a9<0,d<0,所以数列{an}是递减数列,所以a1>a2>…>a8>0,所以00,即Snan<0,所以S8a8是S1a1,S2a2,…,S15a15中的最大项.故选C.(2)因为{an}是等比数列,所以a8a13=a9a12=e,所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a1a20)10=10ln(a8a13)=10lne=10.答案▶(1)C(2)10等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质,整体考虑,减少运算量”的思想.1.已知等比数列{an}满足an>0,且a3a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,...
