高考数学一轮复习 每日一题之数学归纳法 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

数学归纳法高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线已知数列中，，*111()2nnnaaanN．（1）求证：112na；（2）求证：11na是等差数列；（3）设12111nnnbaaa，记数列的前项和为，求证：9415nS．【参考答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析.【试题解析】（1）当时，，满足112na，假设当（）时，112na，则当时，112,123kkaa，即时，满足112na；所以，当*nN时，都有112na．（2）由1112nnnaaa，得112nnaa，所以+1111122nnnnaaaa，所以111111nnaa，即，所以，数列11na是等差数列．1（3）由（2）知，121111nnna，∴1nnan，因此2121132123nnnbnnnbannn，当时，221218721145720nnnnnn，所以时，212326237nnbnnbnn，所以时，22122666777nnnnbbbb，显然，下面只需证明，9415nS即可．当时，22123222226663777nnnSbbbbbbbb14615726317n122861357n228943515．【解题必备】（1）归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．（2）①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；②0n是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值0n都是1，同时应注意：数学归2纳法的两个步骤缺一不可，第二步证明的关键是要运用归纳假设，要弄清由nk到1nk时命题变化的情况．学霸推荐1．在用数学归纳法证明1111(,3)12()fnnnnnn*N的过程中：假设当(,nkk*N3)k，不等式()1fk成立，则需证当1nk时，1()1fk也成立．若()()1()kfkkfg，则()gkA．112122kkB．1112122kkkC．1122kkD．11222kk2．设()nfx是等比数列1，x，2x，…，nx的各项和，其中0x，nN，2n．（1）证明：函数()2()nnFxfx在1(,21)内有且仅有一个零点(记为nx)，且11122nnnxx；（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()ngx，比较()nfx和()ngx的大小，并加以证明．1．【答案】B32．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）2()()212nnnFxfxxxx，则10(1)nFn，1211()111112122012222212()()()nnnnF，所以()nFx在1(,21)内至少存在一个零点．又1()120nnF'xxnx，故()nFx在1(,21)内单调递增，所以()nFx在1(,21)内有且仅有一个零点nx．因为nx是()nFx的零点，所以)0(nnFx，即11201nnnxx，故11122nnnxx．（2）由题设，21()nnfxxxx，(1)(()1)2nnnxgx，0x．当1x时，()()nnfxgx．当1x时，用数学归纳法可以证明()()nnfxgx．①当2n时，222()(1(1))02fxgxx，所以22()()fxgx成立．4②假设(2)nkk时，不等式成立，即()()kkfxgx．那么，当1nk时，11111(1)(1()()()2(1)122)kkkkkkkkkkxxkxkfxfxxgxxx．又1112(1)1(1)122()kkkkkxkxkkxkxgx，令1()1)1(kkkhxkxkx，0x，则11()()()))11(1(1kkkkh'xkkxkkxkkxx．所以当01x时，0()kh'x，()khx在(0，1)上单调递减；当1x时，0()kh'x，()khx在(1，+∞)上单调递增．所以()()01kkhxh，从而112(1)12()kkkxkxkgx．故11()()kkfxgx，即1nk时不等式也成立．由①和②知，对一切2n的整数，都有()()nnfxgx．综上所述，当1x时，()()nnfxgx；当1x时，()()nnfxgx．5