数学归纳法高考频度:★★☆☆☆难易程度:★★★☆☆典例在线已知数列中,,*111()2nnnaaanN.(1)求证:112na;(2)求证:11na是等差数列;(3)设12111nnnbaaa,记数列的前项和为,求证:9415nS.【参考答案】(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析;(3)证明见试题解析.【试题解析】(1)当时,,满足112na,假设当()时,112na,则当时,112,123kkaa,即时,满足112na;所以,当*nN时,都有112na.(2)由1112nnnaaa,得112nnaa,所以+1111122nnnnaaaa,所以111111nnaa,即,所以,数列11na是等差数列.1(3)由(2)知,121111nnna,∴1nnan,因此2121132123nnnbnnnbannn,当时,221218721145720nnnnnn,所以时,212326237nnbnnbnn,所以时,22122666777nnnnbbbb,显然,下面只需证明,9415nS即可.当时,22123222226663777nnnSbbbbbbbb14615726317n122861357n228943515.【解题必备】(1)归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观察、归纳,然后猜想出结论,再用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”,务必保证猜想的正确性,同时必须注意数学归纳法步骤的书写.(2)①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明;②0n是命题成立的第一个正整数,并不一定所有的第一个允许值0n都是1,同时应注意:数学归2纳法的两个步骤缺一不可,第二步证明的关键是要运用归纳假设,要弄清由nk到1nk时命题变化的情况.学霸推荐1.在用数学归纳法证明1111(,3)12()fnnnnnn*N的过程中:假设当(,nkk*N3)k,不等式()1fk成立,则需证当1nk时,1()1fk也成立.若()()1()kfkkfg,则()gkA.112122kkB.1112122kkkC.1122kkD.11222kk2.设()nfx是等比数列1,x,2x,…,nx的各项和,其中0x,nN,2n.(1)证明:函数()2()nnFxfx在1(,21)内有且仅有一个零点(记为nx),且11122nnnxx;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为()ngx,比较()nfx和()ngx的大小,并加以证明.1.【答案】B32.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)2()()212nnnFxfxxxx,则10(1)nFn,1211()111112122012222212()()()nnnnF,所以()nFx在1(,21)内至少存在一个零点.又1()120nnF'xxnx,故()nFx在1(,21)内单调递增,所以()nFx在1(,21)内有且仅有一个零点nx.因为nx是()nFx的零点,所以)0(nnFx,即11201nnnxx,故11122nnnxx.(2)由题设,21()nnfxxxx,(1)(()1)2nnnxgx,0x.当1x时,()()nnfxgx.当1x时,用数学归纳法可以证明()()nnfxgx.①当2n时,222()(1(1))02fxgxx,所以22()()fxgx成立.4②假设(2)nkk时,不等式成立,即()()kkfxgx.那么,当1nk时,11111(1)(1()()()2(1)122)kkkkkkkkkkxxkxkfxfxxgxxx.又1112(1)1(1)122()kkkkkxkxkkxkxgx,令1()1)1(kkkhxkxkx,0x,则11()()()))11(1(1kkkkh'xkkxkkxkkxx.所以当01x时,0()kh'x,()khx在(0,1)上单调递减;当1x时,0()kh'x,()khx在(1,+∞)上单调递增.所以()()01kkhxh,从而112(1)12()kkkxkxkgx.故11()()kkfxgx,即1nk时不等式也成立.由①和②知,对一切2n的整数,都有()()nnfxgx.综上所述,当1x时,()()nnfxgx;当1x时,()()nnfxgx.5