第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限[微点提醒]1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tanα＝恒成立.()(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.()解析(1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sinα.(3)中当α的终边落在y轴上，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，sinα＝，当k为偶数时，sinα＝－.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(必修4P21A12改编)已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝()A.B.－C.D.－解析由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－.答案B3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝()A.－B.C.－D.解析因为α为锐角，所以cosα＝＝，故cos(π＋α)＝－cosα＝－.答案A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()A.－B.－C.D.解析 (sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α，∴sin2α＝1－＝－.答案A5.(2019·济南质检)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα＝()A.B.－C.D.－解析 sinα＝－，α为第四象限角，∴cosα＝＝，因此tanα＝＝－.答案D6.(2018·成都月考)化简：＝________.解析原式＝＝＝1.答案1考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2018·兰州测试)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα＝()A.－B.C.－D.(2)(2019·平顶山联考)已知＝5，则cos2α＋sin2α＝()A.B.－C.－3D.3解析(1) <α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(2)由＝5得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝.答案(1)B(2)A规律方法1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)若3sinα＋cosα＝0，则的值为()A.B.C.D.－2(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析(1)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝.(2)由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得sin(α＋β)＝－.答案(1)A(2)－考点二诱导公式的应用【例2】(1)(2019·衡水中学调研)若cos＝，则cos(π－2α)＝()A.B.C.－D.－(2)设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝________.解析(1)由cos＝，得sinα＝.∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.(2) f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝.答案(1)D(2)规律方法1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【训练2】(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标...
