单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2017山西太原一模)复数=()A.-1-2iB.-1+2iC.1-2iD.1+2i2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则()A.=2B.C.=3D.23.(2017湖北武汉二月调考)若非零向量a,b满足a⊥(2a+b),且a与b的夹角为,则=()A.B.C.D.24.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a25.(2017安徽合肥一模)设i为虚数单位,复数z=的虚部是()A.B.-C.1D.-16.已知向量=(2,2),=(4,1),O为坐标原点,在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为()A.-B.-C.D.8.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影为()A.B.C.-D.-9.(2017湖北武昌1月调研)在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则=()A.-B.0C.D.710.已知向量=(2,0),=(2,2),=(cosα,sinα),O为坐标原点,则向量的夹角的取值范围是()A.B.C.D.导学号〚21500624〛11.已知||=||=2,O为坐标原点,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为()A.B.C.2D.12.(2017河北石家庄二中测试,理8)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1.若e为平面单位向量,则(a+b)·e的最大值为()A.B.6C.D.7二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2017湖南邵阳一模)设θ∈,向量a=(cosθ,2),b=(-1,sinθ),若a⊥b,则tanθ=.14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为.15.(2017河南郑州三模)在△ABC中,∠A=,O为平面内一点.且||=||=||,M为劣弧上一动点,且=p+q,则p+q的取值范围为.导学号〚21500625〛16.(2017湖南长沙一模)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点,且AP=1,若=x+y,则3x+2y的取值范围是.导学号〚21500626〛参考答案单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入1.A=-1-2i.2.B由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,故选B.3.B∵a⊥(2a+b),且a与b的夹角为,∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-|a||b|=0.又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=|b|,∴,故选B.4.D如图,设=a,=b,则=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.5.B∵z=i,∴复数z=的虚部是-.6.C设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).7.A由题意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).因为c=(3,4),(b+λa)⊥c,所以(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-,故选A.8.A由题意,得=(2,1),=(5,5),故向量方向上的投影为,故选A.9.B如图,∵BC=3MC,DC=4NC,AB=4,AD=3,∴=()·()=|2-|2=×9-×16=0.10.D设A(x,y),由题意,得=(2+cosα,2+sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量的夹角分别取到最大值、最小值.易知OC与两切线的夹角均为,∠BOC=,所以所求夹角的最大值为,最小值为,故选D.11.B依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上.由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值为3,因此|-t|的最小值为.12.C(a+b)·e=a·e+b·e≤|a·e|+|b·e|=,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值,(|a·e|+|b·e|)max=|a+b|=,则(a+b)·e的最大值为,故选C.13.∵a⊥b,∴a·b=0,即-cosθ+2sinθ=0,∴=tanθ=.14.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E.设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则=2x+y,令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取得最大值.15.[1,2]如图所示,在△ABC中,∠A=,则∠BOC=.设||=||=||=r,则O为△ABC外接圆圆心.∵=p+q,∴||2=(p+q)2=r2,即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2,∴p2+q2-pq=1,∴(p+q)2=3pq+1.又M为劣弧上一动点,∴0≤p≤1,0≤q≤1,∴p+q≥2,∴pq≤,∴1≤(p+q)2≤(p+q)2+1,解得1≤(p+q)2≤4,∴1≤p+q≤2,即p+q的取值范围是[1,2].16.(1,]由题意,得||2=(x+y)2=9x2+4y2≥(3x+2y)2.∵||2=1,∴(3x+2y)2≤1,故3x+2y≤.如图,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),D(0,2),∴=x+y=x(3,0)+y(0,2)=(3x,2y),∴3x+2y>1,∴3x+2y的取值范围是(1,].
