第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A．8B．4C．4D．2解析：双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，把x＝2代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.答案：C2．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1解析：数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线各只有一个公共点．答案：B3．双曲线－＝1中的被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是()A．8x－9y＝7B．8x＋9y＝25C．4x＋9y＝6D．不存在解析：点P(2,1)为弦的中点，由双曲线的对称性知，直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，将y＝k(x－2)＋1代入双曲线方程得(4－9k2)x2－9(2k－4k2)x＋36k－45＝04－9k2≠0Δ＝[－9(2k－4k2)]2－4(4－9k2)·(36k－45)>0x1＋x2＝＝4解得k＝代入Δ得Δ<0，故不存在直线满足条件．答案：D4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝，即≥，则＝≥，故有e2≥4，e≥2.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为__________．解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，将直线AB方程：y＝(x＋2)代入双曲线方程1得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝－，∴|AB|＝·＝×＝3.答案：36．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．解析：设焦点为F(±c,0)．双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．在双曲线－＝1上求一点，使它到直线l：x－y－3＝0的距离最短，并求此最短距离．解析：与直线l：y＝x－3平行的双曲线的切线方程可设为y＝x＋m.则∴－＝1，整理可得16x2＋50mx＋25m2＋25×9＝0Δ＝(50m)2－4×16(25m2＋25×9)＝0解得m2＝16，∴m＝±4，本题m应取－4.将切线方程l′：y＝x－4代入双曲线方程整理得16x2－200x＋625＝0，解得x＝.因而y＝x－4＝.故得切点为.由于直线y＝x－3与切线y＝x－4的距离为.故双曲线到直线的最短距离为.8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且＝.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解析：(1)由题意得，解得所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由，得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.2因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.9．(10分)已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2(其中O为原点)，求k的取值范围．解析：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2，∴b＝1.故所求双曲线方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，可得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，则直线l与双曲线交于不同的两点得，故k2≠且k2<1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由OA·OB>2，得x1x2＋y1y2>2，而x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，解此不等式得
