中档大题分类练(四)立体几何（建议用时：60分钟）1．如图57，已知多面体PEABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.图57(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若∠ABC＝60°，求点P到平面ACE的距离．[解](1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF∥PA，且OF＝PA，因为DE∥PA，且DE＝PA，所以OF∥DE，且OF＝DE.所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC,因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC，因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.(2)因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AC＝2.又因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，∴S△PAC＝×PA×AC＝2，因为EF⊥面PAC，所以EF是三棱锥EPAC的高，EF＝DO＝BO＝，∴VPACE＝VEPAC＝S△PAC×EF＝×2×＝， DE∥PA，PA⊥平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，DE⊥CD， DE＝1，∴AE＝CE＝，∴S△ACE＝2×2×＝2，所以点P到平面ACE的距离h＝＝＝.2．如图58，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，△PAD≌△BAD，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝4，PA＝PD，M在棱PD上运动．图58(1)当M在何处时，PB∥平面MAC；(2)已知O为AD的中点，AC与OB交于点E，当PB∥平面MAC时，求三棱锥EBCM的体积．[解](1)如图，设AC与BD相交于点N，当M为PD的中点时，PB∥平面MAC，证明： 四边形ABCD是菱形，可得：DN＝NB，又 M为PD的中点，可得：DM＝MP，∴NM为△BDP的中位线，可得NM∥PB，又 NM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，∴PB∥平面MAC.(2) O为AD的中点，PA＝PD，则OP⊥AD，又△PAD≌△BAD，∴OB⊥AD，且OB＝2，又 △AEO∽△CEB，∴＝＝.∴BE＝OB＝.∴S△EBC＝×4×＝.又 OP＝4×＝2，点M为PD的中点，∴M到平面EBC的距离为.∴VEBCM＝VMEBC＝××＝.3．在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF＝AB.图59(1)求证：EF∥平面BDC1；(2)求三棱锥DBEC1的体积．[解](1)取AB的中点O，连接A1O， AF＝AB，∴F为AO的中点，又E为AA1的中点，∴EF∥A1O， A1D＝A1B1，BO＝AB，AB綊A1B1，∴A1D綊BO，∴四边形A1DBO为平行四边形，∴A1O∥BD，∴EF∥BD，又EF⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，∴EF∥平面BDC1.(2) AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D， A1C1＝B1C1＝A1B1＝2，D为A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，C1D＝，又AA1⊂平面AA1B1B，A1B1⊂平面AA1B1B，AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B， AB＝AA1＝2，D，E分别为A1B1，AA1的中点，∴S△BDE＝22－×1×2－×1×2－×1×1＝.∴VDBEC1＝VC1BDE＝S△BDE·C1D＝××＝.4．如图60所示，在四棱锥PABCD中，△BCD，△PAD都是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且AD＝2AB＝4，CD＝2.图60(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)E是AP上一点，当BE∥平面PCD时，求三棱锥CPDE的体积．[解](1)因为AD＝4，AB＝2，BD＝2，所以AD2＝AB2＋BD2，所以AB⊥BD，∠ADB＝30°，又因为△BCD是等边三角形，所以∠ADC＝90°，所以DC⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)过点B作BG∥CD交AD于G，过点G作EG∥PD交于AP于点E，因为BG∥CD，BG⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BG∥平面PCD，同理可得EG∥平面PCD，所以平面BEG∥平面PCD，因为BE⊂平面BEG，所以BE∥平面PCD.因为EG∥PD，所以＝，在直角三角形BGD中，BD＝2，∠BDG＝30°，所以DG＝2cos30°＝3，所以＝＝，在平面PAD内过E作EH⊥PD于H，因为CD⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，所以CD⊥EH，因为PD∩CD＝D，所以EH⊥平面PCD，所以EH是点E到平面PCD的距离，过点A作AM⊥PD于M，则AM＝×4＝2，由AM∥EH，得＝＝，所以EH＝.因为S△PCD＝×4×2＝4，所以VCPDE＝×4×＝6.(教师备选)1．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．(1)求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)求三棱锥C1BCA1的体积．[解](1)连接AO，并延长与...
