第2节圆与方程【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1,2,9直线与圆的位置关系3,6,7,10,13,14圆与圆的位置关系4与圆有关的最值问题8,12与圆有关的轨迹问题5直线与圆的综合问题11,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(D)(A)(x-1)2+(y-1)2=1(B)(x+1)2+(y+1)2=1(C)(x+1)2+(y+1)2=2(D)(x-1)2+(y-1)2=2解析:因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r==,则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.2.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(B)(A)(B)(C)(D)解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以所以所以△ABC外接圆的圆心为(1,),故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为=.3.(2015高考安徽卷)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(D)(A)-2或12(B)2或-12(C)-2或-12(D)2或12解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1)到直线3x+4y=b的距离=1,所以b=2或b=12.故选D.4.(2016广东惠州调研)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(B)(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离解析:两圆的圆心距离为,两圆的半径之差为1,半径之和为5,而1<<5,所以两圆相交.5.(2016唐山一中调研)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4(D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.6.(2015高考重庆卷)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|等于(C)(A)2(B)4(C)6(D)2解析:圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|===6.故选C.7.(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.解析:因为圆心(2,-1)到直线x+2y-3=0的距离d==,所以直线x+2y-3=0被圆截得的弦长为2=.答案:8.(2015福建泉州五校统考)圆心在曲线y=-(x>0)上,且与直线3x-4y+3=0相切的面积最小的圆的方程是.解析:设圆心的坐标为(a,-),a>0,因为(a,-)到直线3x-4y+3=0的距离d=≥=3,当且仅当3a=,即a=2时取等号,此时圆心坐标为(2,-),半径r=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+)2=9.答案:(x-2)2+(y+)2=99.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程为.解析:由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=±,故圆C的方程为x2+(y±)2=.答案:x2+(y±)2=10.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)因为直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2.所以(a+1)2+b2=40.②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.11.(2015洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7),圆心S在直线2x-y-4=0上.(1)求圆S的方程;(2)若直线x+y-m=0与圆S相交于C,D两点,若∠COD为钝角(O为坐标原点),求实数m的取值范围.解:(1)线段AB的中垂线方程为y=x,由得所以圆S的圆心为S(4,4),圆S的半径为|SA|=5,故圆S的方程为(x-4)2+(y-4)2=25.(2)由x+y-m=0变形得y=-x+m,代入圆S的方程,消去y并整理得2x2-2mx+m2-8m+7=0.令Δ=(-2m)2-8(m2-8m+7)>0得8-5
