高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第一课时 空间向量与平行、垂直关系练习（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第一课时空间向量与平行、垂直关系1.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则(D)(A)x=6,y=15(B)x=3,y=(C)x=3,y=15(D)x=6,y=解析:由l1∥l2得,==,解得x=6,y=.故选D.2.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(A)(A)(2,2,6)(B)(-1,1,3)(C)(3,1,1)(D)(-3,0,1)解析:因为A,B在直线l上,所以=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.故选A.3.直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,下列关系中能表示l∥α的是(D)(A)a=(B)a=k(C)a=p+λ(D)以上均不能解析:A,B显然不能,而a=p+λ能表示l∥α或l⊂α.故选D.4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是(D)(A)(1,1,-1)(B)(1,-1,1)(C)(-1,1,1)(D)(-1,-1,-1)解析:=(-1,1,0),=(-1,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=-1,则y=-1,z=-1.故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).故选D.15.设平面α的法向量的坐标为(1,2,-2),平面β的法向量的坐标为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于(C)(A)2(B)-4(C)4(D)-2解析:因为α∥β,所以==,所以k=4.6.已知直线l1的方向向量是a=(2,4,x),直线l2的方向向量是b=(2,y,2).若|a|=6,且a·b=0,则x+y的值是(A)(A)-3或1(B)3或-1(C)-3(D)1解析:由题意知|a|==6,解得x=±4,由a·b=4+4y+2x=0,得x=-2y-2.当x=4时,y=-3,所以x+y=1,当x=-4时,y=1,所以x+y=-3,综上,x+y=-3或1.7.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(B)(A)(1,-1,1)(B)(1,3,)(C)(1,-3,-)(D)(-1,3,-)解析:依题意知,⊥n,所以·n=0,逐一验证可知,选B.8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(B)(A)EF至多与A1D,AC之一垂直(B)EF⊥A1D,EF⊥AC(C)EF与BD1相交(D)EF与BD1异面2解析:以D为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设正方体棱长为3,则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),D1(0,0,3),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),所以=(1,1,-1),=(-3,-3,3),=(-3,0,-3),=(-3,3,0),因为·=-3+0+3=0,·=-3+3+0=0,=-3,所以EF⊥A1D,EF⊥AC,EF∥BD1.故选B.9.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,,2),且l∥α,则m=.解析:因为l∥α,所以l的方向向量与α的法向量垂直.所以(2,m,1)·(1,,2)=2+m+2=0.解得m=-8.答案:-810.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z=.解析:因为α∥β,所以u1∥u2,所以==,所以y=1,z=-4,所以y+z=-3.答案:-311.若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则α与β的位置关系是.解析:因为u与v既不平行也不垂直,所以α与β斜交.答案:斜交12.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),3则x∶y∶z=.解析:=(1,-3,-),=(-2,-1,-),由得解得则x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)13.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量;(2)若∠PDA=45°,求证为平面PCD的一个法向量.(1)解:如图,取PD的中点E,连接NE,AE,因为N是PC的中点,所以NEDC.又因为DCAB,AM=AB,所以AMCD,所以NE􀱀AM,所以四边形AMNE是平行四边形,所以MN∥AE.4所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量.(2)证明:在Rt△PAD中,∠PDA=45°,所以AP=AD,所以AE⊥PD.又因为MN∥AE,所以MN⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD.因为AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE.又因为MN∥AE,所以CD⊥MN,所以MN⊥平面PCD.所以为平面PCD的一个法向量.14.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.证明:设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).因为F为CD的中点,所以F(a,a,0).(1)因为=(a,a,0),=(a,a,a),=(2a,0,-a),所以=(+),又AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.5(2)因为=(a,a,0),=(-a,a,0),=(0,0,-2a),所以·=0,·=0,所以⊥,⊥.因为CD∩ED=D,所以AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE,所以平面CDE⊥平面BCE.15.(2018·浙江温州高二检测)如图,已知在四棱锥PABCD中,底面A...