3.2简单的三角恒等变换A级基础巩固一、选择题1.已知sinα-cosα=-,则sin2α的值等于()A.B.-C.-D.解析:由sinα-cosα=-,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,所以sin2α=-.答案:C2.若函数f(x)=-sin2x+(x∈R),则f(x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数解析:f(x)=-+=cos2x.答案:D3.若sin(π-α)=-且α∈,则sin等于()A.-B.-C.D.解析:由题意知sinα=-,α∈,所以cosα=-,因为∈,所以sin=cos=-=-.答案:B4.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于()A.1B.-1C.0D.±1解析:因为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0.答案:C5.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值是()A.1B.2C.+1D.+2解析:f(x)=(1+tanx)cosx=cosx=sinx+cosx=2sin.因为0≤x<,所以≤x+<π,所以当x+=时,f(x)取到最大值2.答案:B二、填空题6.若sinα=cos2α,α∈,则tanα=________.解析:由题意得2sin2α+sinα-1=0,1解得sinα=或-1.又α∈,所以α=π,tanα=tanπ=-.答案:-7.(2014·山东卷)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________.解析:y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,其周期为T==π.答案:π8.-=________.解析:原式====4.答案:4三、解答题9.化简.解:====1.10.求证:=.证明:左边======右边,所以=.B级能力提升1.已知2sinα=1+cosα则tan等于()A.B.或不存在C.2D.2或不存在解析:因为2sinα=1+cosα,所以有4sincos=2cos2,故有cos=0时,tan不存在,当cos≠0时,tan=.答案:B2.在△ABC中,若cosA=,则sin2+cos2A等于________.解析:在△ABC中,=-,所以sin2+cos2A=sin2+cos2A=cos2+cos2A=+2cos2A-1=-.答案:-3.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解:(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,所以函数f(x)的最小正周期为T==π.2(2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin+1.当x∈时,2x+∈,由正弦函数y=sinx在上的图象知,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值+1;当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值0.综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.3