3.2简单的三角恒等变换A级基础巩固一、选择题1．已知sinα－cosα＝－，则sin2α的值等于()A.B．－C．－D.解析：由sinα－cosα＝－，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝－.答案：C2．若函数f(x)＝－sin2x＋(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数解析：f(x)＝－＋＝cos2x.答案：D3．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于()A．－B．－C.D.解析：由题意知sinα＝－，α∈，所以cosα＝－，因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.答案：B4．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.答案：C5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x＜，则f(x)的最大值是()A．1B．2C.＋1D.＋2解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＝sinx＋cosx＝2sin.因为0≤x＜，所以≤x＋＜π，所以当x＋＝时，f(x)取到最大值2.答案：B二、填空题6．若sinα＝cos2α，α∈，则tanα＝________．解析：由题意得2sin2α＋sinα－1＝0，1解得sinα＝或－1.又α∈，所以α＝π，tanα＝tanπ＝－.答案：－7．(2014·山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，其周期为T＝＝π.答案：π8.－＝________．解析：原式＝＝＝＝4.答案：4三、解答题9．化简.解：＝＝＝＝1.10．求证：＝.证明：左边＝＝＝＝＝＝右边，所以＝.B级能力提升1．已知2sinα＝1＋cosα则tan等于()A.B.或不存在C．2D．2或不存在解析：因为2sinα＝1＋cosα，所以有4sincos＝2cos2，故有cos＝0时，tan不存在，当cos≠0时，tan＝.答案：B2．在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A等于________．解析：在△ABC中，＝－，所以sin2＋cos2A＝sin2＋cos2A＝cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝－.答案：－3．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.2(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sinx在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.3
