第一章计数原理检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1C109+C108等于()A.45B.55C.65D.以上都不对解析:C109+C108=C101+C102=55,故选B.答案:B2(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数有()A.9项B.12项C.18项D.24项解析:分三步:第一步,从(x3+x2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理得共有4×3×2=24项.答案:D35名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种解析:5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种,故选D.答案:D4将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A.252种B.112种C.70种D.56种解析:分两类:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112种.答案:B5满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10解析:当a=0时,方程变为2x+b=0,则b为-1,0,1,2都有解;当a≠0时,若方程ax2+2x+b=0有实数解,则Δ=22-4ab≥0,即ab≤1.当a=-1时,b可取-1,0,1,2.当a=1时,b可取-1,0,1.当a=2时,b可取-1,0,故满足条件的有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.答案:B16若Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn能被7整除,则x,n的值可能为()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5解析:由于Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=(1+x)n−1,分别将选项A,B,C,D中的值代入检验知,仅有选项C适合.答案:C7用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279解析:构成所有的三位数的个数为C91C101C101=900,而无重复数字的三位数的个数为C91C91C81=648,故所求个数为900-648=252,应选B.答案:B8在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10解析:含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为C62=15,故含x3项的系数是15.答案:C9若(x-1x)n展开式的第4项为含x3的项,则n等于()A.8B.9C.10D.11解析:Tk+1¿Cnk·xn-k·(-1x)k=Cnk·(-1)k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.答案:B10从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为()A.C84−12B.C84−8C.C84−6D.C84−4解析:在正方体的6个面和6个对角面中,每个面上的四个点不能构成四面体.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,则从A处到B处共有条不同的线路可通电.解析:按上、中、下三条线路可分为三类,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有2×2=4条.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8条不同的线路.答案:8212甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是.(用数字作答)解析:可分类讨论:第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有A73种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则共有C31A72种.因此共有不同的站法种数是A73+C31A72=336.答案:33613若(x+a3√x)8的展开式中x4的系数为7,则实数a=¿.解析: (x+a3√x)8的通项为C8rx8−rar(x-13)r¿C8rarx8−rx-r3=C8rarx8-r-r3,∴令8-r−r3=4,解得r=3.∴C83a3=7,得a¿12.答案:1214C170−2C171+4C172−8C173+…+(−217C1717)=¿¿解析:原式=(1-2)17=(-1)17=-1.答案:-115学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有种.(用数字作答)解析:由于每科一节课,每节至少有一科,则必有两科在同一节,先从4科中任选2科看作整体,再做3个元素的全排列,共C42A33种方法,从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共A33种方法,故总的方法种数为C42A33−A33=36−6=30.答案:30三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说...
