3.3.1单调性一、填空题1．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的取值范围是________．2．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调增区间是________．3．函数f(x)＝ax＋(a>0且b>0)的单调减区间是__________．4．若函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1的单调减区间为(－2,0)，则p的集合为__________．5．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且x∈[a，b]时，f′(x)>0，又f(a)<0，则下列结论正确的是________．①f(x)在[a，b]上单调递增，且f(b)>0②f(x)在[a，b]上单调递增，且f(b)<0③f(x)在[a，b]上单调递减，且f(b)<0④f(x)在[a，b]上单调递增，但f(b)的符号无法判断6．若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)>0恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是________．①af(a)>bf(b)②af(b)>bf(a)③af(a)g′(x)，f(a)＝g(a)，证明：当x∈[a，b]时，f(x)≥g(x)．12．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．1答案1解析：∵y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，∴y′＝a(3x2－1)在区间(－，)上，y′<0恒成立．又∵在(－，)上，3x2－1<0且a≠0，∴a>0.答案：a>02解析：∵f(x)＝lnx－ax，∴f′(x)＝－a>0，∴x<.又f(x)有意义，x>0，∴00，所以函数是增函数，f(b)>f(a)，但由f(a)<0，无法判断f(b)的符号．答案：④6解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由条件知g(x)是R上的增函数，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)．答案：①7解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间(0，)．由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<0得x<－1或x>－；由f′(x)<0得－10，∴F(x)在[a，b]上是单调递增的．∴对任意x∈[a，b]有F(x)≥F(a)．∵f(a)＝g(a)，∴F(x)＝f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)＝0，2∴f(x)≥g(x)．12解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，其中x1
