补偿练5平面向量与解三角形(建议用时：40分钟)1．若向量m＝(1，2)，n＝(x，1)满足m⊥n，则|n|＝________．解析∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝＝.答案2．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．解析S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为________．解析由题知λa＋b＝(λ＋2，2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案－14．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，B(－2，k)，若向量OA⊥AB，则实数k＝________．解析因为A(1，3)，B(－2，k)，所以AB＝(－3，k－3)，因为OA⊥AB，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.答案45.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝________．解析以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0，0)，O(3，2)，P(5，0)，Q(4，6)，则OP＝(2，－2)，OQ＝(1，4)，所以OP＋OQ＝(3，2)，而恰好FO＝(3，2)，故OP＋OQ＝FO.答案FO6．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．解析依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝，C＝.答案7．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1，3)，b＝(m，2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，≠，得m≠－3.答案(－∞，－3)∪(－3，＋∞)8.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则AE·AF＝________．1解析因为AE＝AB＋AD，AF＝AD＋AB，AD·AB＝0，所以AE·AF＝(AB＋AD)·(AD＋AB)＝AB2＋AD2＝1.答案19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于________．解析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，因为sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S＝bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得bcsinA＝·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.答案45°10．在边长为1的正三角形ABC中，BD＝BA，E是CA的中点，则CD·BE等于________．解析建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，依题意设D(x1，0)，E(x2，y2)，∵BD＝BA，∴＝(－1，0)，∴x1＝.∵E是CA的中点，∴x2＝－，y2＝.∴CD·BE＝·＝×＋×＝－.答案－11．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA＋4OB＋5OC＝0，则△AOC的面积为________．解析依题意得，(3OA＋5OC)2＝(－4OB)2，9OA2＋25OC2＋30OA·OC＝16OB2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为|OA||OC|sin∠AOC＝.答案12．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于________．解析由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝＝＝－1，所以cosC＋1＝，即2cos2＝sincos，所以tan＝2，所以tanC＝＝＝－.答案－13．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最2小值是________．解析∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝，|ta－b|＝＝＝≥.答案14．给出以下结论：①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则BC·CA＝20；②已知正方形ABCD的边长为1，则|AB＋BC＋AC|＝2；③已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的序号为__________．解析对于①，BC·CA＝abcos(π－C)＝－abcosC＝－20；对于②，|AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|＝2；对于③，因为AB＝a＋5b，BD＝BC＋CD＝a＋5b，所以AB＝BD，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．答案②③3
