专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.已知椭圆Γ:x2a2+y2=1(a>1)与圆E:x2+(y-32)2=4相交于A,B两点,且|AB|=2❑√3,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C切于点P.(1)当切点P的坐标为(45,85)时,求直线l及圆C的方程;(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2❑√3,离心率为❑√32.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=❑√3|OF|,且△AOB的面积为❑√2.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解 动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且p2=1,解得p=2,∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立{y=kx-2,x2=4y,化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>❑√2或k<-❑√2.∴x1+x2=4k,x1x2=8.直线AC的方程为y-y2=-y2-y1x2+x1(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-kx22,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2), x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8,令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,设xB=❑√3,则圆心E到AB的距离为1,∴yB=12,∴B(❑√3,12),代入椭圆方程得3a2+14=1,解得a2=4,∴e=❑√32.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D(0,-12),当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-12,{y=kx-12,x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.∴x1+x2=4k1+4k2,x1x2=-31+4k2,直线MN'的方程y-y1=y1-y2x1+x2(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-x1(y1-y2)x1+x2=x1y2+y2x1x1+x2=x1(kx2-12)+x2(kx1-12)x1+x2=2kx1x2x1+x2−12=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN'过定点(0,-2).3.(1)解由圆(x-a)2+y2=4,则圆心(a,0),半径为2,将P(45,85)代入圆方程,解得a=2或a=-25,∴圆的方程为(x-2)2+y2=4或(x+25)2+y2=4,当a=2,圆心C(2,0),则直线CP的斜率k=85-045-2=-43,由直线l的斜率为-1k=34,则直线l的方程y-85=34(x-45),整理得4y-3x-4=0;当a=-25,圆心C(-25,0),则直线CP的斜率k=85-045-(-25)=43,由直线l的斜率为-1k=-34,则直线l的方程y-85=-34(x-45),整理得20y+15x-44=0,综上可知,直线l方程为4y-3x-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,或直线l方程为20y+15x-44=0,圆C的方程为(x+25)2+y2=4;(2)证明当a=2时,圆C的方程(x-2)2+y2=4,当l垂直于x轴时,则x=4,A(4,4),B(4,-4),∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,∴|FA|+|FB|-|AB|=2;当l不垂直于x轴时,设直线l:y=kx+b(k≠0),直线l与圆C相切,则|2k-0+b|❑√1+k2=2,则4kb+b2=4,结合图象知kb0,x1+x2=-2kb-4k2,x1x2=b2k2,|AB|=❑√1+k2·❑√(x1+x2)2-4x1x2=❑√1+k2·❑√(-2kb-4k2)2-4×b2k2=❑√1+k2·❑√-16kb+16k2=❑√1+k2·❑√4b2k2=❑√4(b2+k2b2)k2=❑√4(4-4kb+k2b2)k2=4-2kbk2,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,∴|FA|+|FB|=-2kb-4k2+2,∴|FA|+|FB|-|AB|=-2kb-4k2+2-4-2kbk2=2,...
