专题17圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（Ⅰ）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）（Ⅰ）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，令得，所以，又，所以，，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.【变式探究】椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(－5，0)任作一直线l交椭圆C于M，N两点，记MQ＝λQN，线段MN上的点R满足MR＝－λRN，求点R的轨迹方程．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为x1＋y1＝1，同理切线PB的方程为x2＋y2＝1，故直线AB的方程为x＋y＝1.由此得b＝2，c＝1，a＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.（2）方法一：设M（x3，y3），N（x4，y4），R（x，y）.由MQ＝λQN，得（－5－x3，－y3）＝λ（x4＋5，y4），得因为点M，N在椭圆C上，所以所以第二个等式两边同乘λ2，两式相减得x4＝－3－①.由MR＝－λRN，得（x－x3，y－y3）＝－λ（x4－x，y4－y），即x－x3＝－λ（x4－x），即（1－λ）x＝x3－λx4＝－2λx4－5（1＋λ）②.把①代入②得（1－λ）x＝λ－1，根据已知λ≠1，所以x＝－1.由解得y＝±.所以点R的轨迹方程为x＝－1（－5，所以－b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为.(1)求椭圆的方程．(2)是否存在过F2的直线l交椭圆于B，C两点，且满足△BOC的面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设F1（－c，0），F2（c，0）.由e＝＝，得a＝c，b＝c，所以椭圆的方程为＋＝1.直线AF2：x＝c，与椭圆方程联立得y＝±c，根据对称性取A（c，c），则kAF1＝＝，所以AF1的方程为y＝（x＋c），即x－2y＋c＝0，所以坐标原点到该直线的距离d＝＝，解得c＝1（舍去定值），故所求的椭圆的方程为＋y2＝1.【特别提醒】解析几何中存在探索性问题的解法和其他的存在探索性问题的解法的思想是一致的，即在假设其存在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定其存在与否．【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题例2、【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析，②【解析】解：（1）抛物线的焦点为由点在直线上，得，即所以抛物线C的方程为（2）设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为①由消去得因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，...
