课时跟踪训练(七)二项式定理(时间45分钟)题型对点练(时间20分钟)题组一二项式定理1．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为()A．11B．12C．13D．14[解析]因为(2x－3)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11，选A.[答案]A2．已知(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．44B．46C．110D．120[解析]二项式(1＋)5的展开式为1＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋30＋30＋45＋9＝76＋44，所以a＝76，b＝44，a＋b＝76＋44＝120.[答案]D3．用二项式定理展开6.[解]6＝6＝＝[Cx6(－1)0＋Cx5(－1)1＋Cx4(－1)2＋Cx3(－1)3＋Cx2(－1)4＋Cx1(－1)5＋Cx0(－1)6]＝(x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1)＝x3－6x2＋15x－20＋－＋.题组二二项式定理中的特定项与系数问题4．二项式5的展开式中的二项式系数为()A．1B．5C．10D．20[解析]5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－rr＝rCx5－2r，令5－2r＝－1，得r＝3，所以展开式中的二项式系数为C＝10.选C.[答案]C5．二项式5的展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40[解析]二项式5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)5－rr＝(－1)r·2rCx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝(－1)3×23×C＝－80，选B.[答案]B6．记n的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b4，求n.[解](1)n的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1·m－1＝2n＋1－m·C·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·C.(2)当n＝6时，n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝26－r·C·x6－2r.依题意，6－2r＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为T4＝23·C＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C＝2·2n－3·C，从而C＝C，即n＝5.题组三整除(余数)问题7．设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12[解析]512012＋a＝(13×4－1)2012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．[答案]D18．9192被100除所得的余数为________．[解析]解法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数． 992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.解法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.[答案]819．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．[证明]1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋1－1＝31×(31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n等于()A．6B．7C．8D．9[解析]二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得C·35＝C·36，即＝3×(n≥6)，得n＝7.[答案]B2．设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为()A．4B．6C．8D．10[解析]依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝4，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－2.令r－2＝0，则r＝2，故常数项为C(－1)2＝6.[答案]B3.(1＋x)4展开式中含x2的项的系数为()A．4B．6C．10D．12[解析]根据乘法公式，得：①因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；②因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项．(1＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝Cxr(r＝0,1，…，4)，故·(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2项的系数为10.[答案]C二、填空题4．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．[解析]本题利用二项式定理求出x3项的系数，从而求得ab的值，再应用基本不等式解决.6的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)6－r·r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.故填2...
